Test 1

MAE4 – Mathematik: Analysis für Ingenieure 4
Dr. Christoph Kirsch
Frühlingssemester 2015
ZHAW Winterthur
Test 1
Aufgabe 1 (5 Punkte):
Aus einer Urne mit 3 roten und 12 blauen Kugeln werden nacheinander Kugeln gezogen (mit Zurücklegen). Wir nehmen an, dass jede einzelne der 15 Kugeln mit derselben
Wahrscheinlichkeit gezogen wird.
a) (2 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 10 Ziehungen
höchstens 2-mal eine rote Kugel gezogen wird.
b) (3 Punkte) Es werden so lange Kugeln gezogen, bis 5 rote Kugeln gezogen wurden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bis zu diesem Zeitpunkt
mindestens 20 blaue Kugeln gezogen wurden.
Aufgabe 2 (5 Punkte):
In einer Urne mit insgesamt 20 Kugeln befindet sich eine unbekannte Anzahl von
M roten Kugeln. Man weiss allerdings, dass M ≤ 10 ist. Dieser Urne werden Stichproben vom Umfang 3 entnommen (Ziehen ohne Zurücklegen). Wir definieren die
Zufallsvariable
X := “Anzahl rote Kugeln in der Stichprobe”.
a) (1 Punkt) Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariablen X an.
b) (2 Punkte) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit “P (X = 1)” in Abhängigkeit von
M an. Vereinfachen Sie so weit wie möglich.
c) (2 Punkte) Durch wiederholte Stichprobenentnahme wurde “P (X = 1)”' 35 %
ermittelt. Wie gross schätzen Sie aufgrund dieser Information die Anzahl der
roten Kugeln M in der Urne?
Bitte wenden!
• Datum, Ort, Zeit: Mittwoch, 18. März 2015, 10:00 – 10:50 Uhr, TH 444
• Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner und (ergänzte) Formelsammlung, sowie eine Zusammenfassung der Vorlesung auf 10 A4-Blättern (doppelseitig beschrieben).
• Bitte schreiben Sie immer Ihren vollständigen Lösungsweg auf. Geben Sie auch an,
wenn Sie für einen Zwischenschritt den Taschenrechner verwendet haben.
• Bitte schreiben Sie Ihren Namen oben rechts auf jede Seite, die Sie abgeben.
Geben Sie auch dieses Aufgabenblatt ab.
Aufgabe 3 (5 Punkte):
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer stetigen reellen Zufallsvariablen X sei
gegeben durch
axe−2x , x ≥ 0
fX (x) =
,
0,
x<0
mit einem Parameter a > 0.
a) (2 Punkte) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a.
b) (2 Punkte) Bestimmen Sie die kumulative Verteilungsfunktion FX der Zufallsvariablen X.
c) (1 Punkt) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit “P (1 ≤ X ≤ 3)”.
Aufgabe 4 (5 Punkte):
Sei X ∼ N (−1, 4).
a) (1 Punkt) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fX an.
b) (1 Punkt) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit “P (−2 ≤ X ≤ 1)”.
c) (3 Punkte) Bestimmen Sie die sog. Quartile der Verteilung von X, d. h. die
Zahlen q1 , q2 , q3 ∈ R mit
“P (X ≤ q1 )” = 25 %,
“P (X ≤ q2 )” = 50 %,
“P (X ≤ q3 )” = 75 %.
, wobei Φ die kumuHinweis: Für X ∼ N (µ, σ 2 ), µ ∈ R, σ > 0, gilt FX (x) = Φ x−µ
σ
lative Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen (N (0, 1))
bezeichnet. Sie erfüllt Φ(−x) = 1 − Φ(x), und es liegen Wertetabellen für sie vor.