Serie 5

MAE4 – Mathematik: Analysis für Ingenieure 4
Dr. Christoph Kirsch
Frühlingssemester 2015
ZHAW Winterthur
Serie 5
Bemerkung: Die ersten vier Aufgaben sollen der Vorbereitung auf Test 1 dienen.
Aufgabe 1 :
Aus einer Urne mit 12 grünen und 4 weissen Kugeln werden nacheinander Kugeln
gezogen (mit Zurücklegen). Wir nehmen an, dass jede der 16 Kugeln in der Urne mit
derselben Wahrscheinlichkeit gezogen wird.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, in der k-ten Ziehung (k ∈ N) eine
weisse Kugel zu erhalten.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 10 Ziehungen noch keine
weisse Kugel gezogen wurde.
c) Es werden so lange Kugeln gezogen, bis genau zwei weisse Kugeln gezogen wurden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bis zu diesem Zeitpunkt
höchstens 5 grüne Kugeln gezogen wurden.
Hinweis: Definieren Sie für jede Fragestellung eine geeignete Zufallsvariable.
Aufgabe 2 :
In einer Urne mit insgesamt 20 Kugeln befinden sich genau 2 rote Kugeln. Aus dieser
Urne wird eine Stichprobe vom Umfang 5 entnommen (Ziehung ohne Zurücklegen).
Wir interessieren uns für die Anzahl der roten Kugeln in dieser Stichprobe.
a) Geben Sie für diese Fragestellung eine geeignete Zufallsvariable X an, und bestimmen Sie ihre Verteilung.
b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Zähldichte fX .
c) Wie gross darf der Umfang n der Stichprobe höchstens gewählt werden, damit
“P (X = 2)”< 2 % gilt?
d) Wir entnehmen wieder Stichproben vom Umfang 5, aber diesmal aus einer Urne
mit N ∈ N Kugeln, von denen genau 2 rot sind. Wie gross muss der Umfang N
der Grundgesamtheit mindestens sein, damit “P (X = 0)”> 65 % gilt?
Aufgabe 3 :
Es sei X ∼ Exp(λ).
a) Bestimmen Sie den Wert des Parameters λ > 0 unter der Annahme, dass
“P (X > 5)”= 5 %.
b) Bestimmen Sie den Wert der Parameters λ > 0 unter der Annahme, dass
“P (X > q)”= p, für gegebene Werte q > 0 und p ∈ (0, 1).
1
c) Berechnen Sie den sog. Median der Exponentialverteilung, d. h. denjenigen Wert
m > 0, für den “P (X ≤ m)”= 50 % gilt.
Aufgabe 4 :
a) Sei X ∼ N (0, 1). Berechnen Sie den sog. Erwartungswert der Zufallsvariablen
X, d. h. das uneigentliche Integral
Z∞
E[X] :=
xfX (x) dx
−∞
2
Hinweis: Verwenden Sie die Substitution t := − x2 .
Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten für normalverteilte Zufallsvariablen
mit Hilfe einer Tabelle für die Standardnormalverteilung:
b) “P (−3 ≤ X ≤ 1)” für X ∼ N (−4, 25),
c) “P (Y > 0)” für Y ∼ N (1, 4).
Aufgabe 5 :
Sei X ∼ B 8, 61 und Y := 2X − 3.
a) Geben Sie das Bild im(Y ) in aufzählender Form an.
b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Zähldichte der Zufallsvariablen Y .
Aufgabe 6 :
Sei X ∼ Cauchy(−2, 3) und Y := 13 X + 5. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariablen Y an. Ist Y Cauchy-verteilt?
Vorlesungswebseite: http://home.zhaw.ch/~kirs/MAE4
2