Übungsblatt 5 - Universität Zürich

MAT901 – Stochastik 1
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Übungsblatt 5
MAT901 – Stochastik 1
Abgabe am Montag 30. März 2015
Aufgabe 1: Fallunterscheidung und Bayes Formel (5+5 Punkte)
Eine Urne enthält 15 rote Kugeln und 5 weisse Kugeln. Von der Urne ziehen wir 6 Kugeln,
ohne Zurücklegen.
a) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die letze Kugel rot ist.
b) Die letzte Kugel ist weiss. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 5 zuerst
gezogenen Kugeln genau eine weiss ist.
Aufgabe 2: Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung (5+5 Punkte)
Sei X ∼ Exp(1).
a) Zeigen Sie, dass
P(X > s + t | X > s) = P(X > t) ∀s, t > 0 .
(1)
b) Zeigen Sie, dass die Exponentialverteilung die einzige stetige Verteilung ist, die (1) erfüllt.
Aufgabe 3: Unabhängige Poisson Zufallsvariablen (10 Punkte)
Sei m ∈ N, m ≥ 2. Seien Xj ∼ Poi(λ), j = 1 . . . , m, unabhängige Zufallsvariablen mit Poisson
Verteilung mit Parameter λ > 0.
Für n ∈ N und 0 ≤ k ≤ n finden Sie
qm (k) := P(X1 = k | X1 + X2 + · · · + Xm = n) .
Zeigen Sie, dass qm eine Binomialverteilung ist.
Hinweis: betrachten Sie zunächst den Fall m = 2.
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MAT901 – Stochastik 1
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Aufgabe 4: Buffonsches Nadelproblem (10 Punkte)
Eine Nadel fällt auf den Boden. Der Boden besteht aus unendlich langen weissen und schwarzen
Streifen. Die Länge der Nadel ist `, die Breite jedes weissen Streifens ist w, und die Breite jedes
schwarzen Streifens ist s, mit s < ` < w. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel
ganz in einem schwarzen Streifen liegt.
s
w
l/2
0
Ω
x
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l/2