Probeklausur

MAT901 – Stochastik 1
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Probeklausur
MAT901 – Stochastik 1
Aufgabe 1 (5+5 Punkte)
a) Es seien X, Y, Z unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit Parameter p ∈
(0; 1) (d.h. es gelte P(W = 1) = p und P(W = 0) = 1 − p für W = X, Y, Z).
Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von
U = (1 − X)Y + XZ.
b) Es seien X und Y zwei unkorrelierte Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen. Zeigen Sie,
dass X und Y unabhängig sind.
Aufgabe 2 (10 Puntke)
Wir betrachten ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p ∈ (0; 1) und
Länge n, d.h. es seien Xi , 1 ≤ i ≤ n, unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in {0, 1}
und mit P(Xi = 1) = p. Sei Wn die Anzahl der Wechsel, d.h. die Anzahl der Indizes
i ≤ n − 1 mit Xi + 1 6= Xi . Berechnen Sie E(Wn ) und die Varianz von Wn .
Aufgabe 3 (5+5 Punkte)
a) Gegeben seien (N + 1) Urnen U0 , . . . , UN . In jeder Urne liegen gut durchmischt N
gleichartige, jedoch jeweils schwarz oder weiss gefärbte Kugeln, und zwar liegen in
der n-ten Urne n schwarze und N − n weisse Kugeln, für n = 0, . . . , N . Man wähle
willkürlich eine Urne aus und ziehe aus dieser eine Kugel. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel schwarz ist?
b) Klempner Robert betreut 40% aller Einwohner in einer kleinen Stadt, in welcher
30% der Einwohner mit ihrem Klempner unzufrieden sind. 50% der in dieser Stadt
wohnhaften Kunden von Robert sind mit seiner Arbeit unzufrieden. Angenommen
ein bestimmter Einwohner der Stadt ist mit seinem Klempner unzufrieden. Was ist
die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Kunde von Robert ist?
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MAT901 – Stochastik 1
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Aufgabe 4 (2+2+3+3 Punkte)
Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in [1, ∞). Die Verteilung von X sei absolut stetig
bezüglich des Lebesgue-Masses, mit Dichte
ρX (x) = cx−α−1 ,
für alle x ≥ 1. Hier ist α > 0 ein Parameter, und c > 0 eine von α abhängige Konstante.
(i) Drücken Sie den Wert von c als Funktion von α aus.
(ii) Berechnen Sie P(X > x), für x ≥ 1.
(iii) Sei (Xk )k∈N eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen, alle
mit der selben Verteilung wie X. Für n ∈ N, sei
Mn = n−1/α max Xk
k=1,...,n
Berechenen Sie die Verteilungsfunktion von Mn .
(iv) Beweisen Sie, dass, im Limes n → ∞, Mn in Verteilung gegen eine Zufallsvariable
M∞ konvergiert. Bestimmen Sie, die Verteilungsfunktion von M∞ .
Aufgabe 5 (4+6 Punkte)
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für jede Folge (Ak )k∈N in A, wir bezeichnen
\ [
Am
lim sup An =
n→∞
n∈N m>n
(a) Zeigen Sie, dass für jede Folge (Ak )k∈N in A,
lim sup A2n ⊂ lim sup An
n→∞
n→∞
(b) Sei (Ak )k∈N eine Folge in A mit der Eigenschaft, dass für jede Folge von Indices
i1 < i2 < i3 < .P
. . mit ik ≥ ik−1 + 2, sind die Ereignisse Ai1 , Ai2 , . . . unabhängig.
Zeigen Sie: Gilt n P(An ) = ∞, so folgt
P lim sup An = 1
n→∞
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MAT901 – Stochastik 1
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Aufgabe 6 (5+5 Punkte)
Sei X eine reelwertige Zufallsvariable mit Exponentialverteilung mit Parameter 1 (d.h.
X habe die Dichte ρX (x) = 1(x ≥ 0)e−x ).
a) Berechnen Sie EX und EX 2 .
b) Sei X1 , X2 , . . . eine Folge von unabhängige und identisch verteilter Zufallsvariablen,
mit der selbe Verteilung wie X. Wir setzen
Yn =
X1 + · · · + Xn
X12 + · · · + Xn2
Zeigen Sie, dass
lim Yn = c
n→∞
fast sicher, wobei c eine Konstante ist, die bestimmt werden muss.
Aufgabe 7 (10 Punkte)
Sei X1 , X2 , . . . eine Folge unabhängiger und identisch verteilter reellwertiger Zufallsvariablen. Wir nehmen an, dass X1 den Median m ∈ R hat, d.h.
P(X ≤ m) = P(X > m) = 1/2.
Für jede n ∈ N\{0} sei nun
Cn = |{k = 1, . . . , n : Xk ≤ m}| − |{k = 1, . . . , n : Xk > m}|
(|A| ist hier die Kardinalität der Menge A). Zeigen Sie, dass die Folge n−1/2 Cn in
Verteilung gegen eine Zufallsvariable Z konvergiert und bestimmen Sie die Verteilung
von Z.
Hinweis: Betrachte für jede n ≥ 1 die Zufallsvariable ξn = 1(Xn ≤ m) − 1(Xn > m).
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MAT901 – Stochastik 1
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Aufgabe 8 (2+2+2+4 Punkte)
Es sei eine Markovkette mit Zustandsraum S = {1, 2, 3, 4} und Übergangsmatrix


0
0
1
0
 1
0
0
0 


 1/2 1/2 0
0 
1/3 1/3 1/3 0
gegeben.
a) Stellen Sie die Markovkette graphisch dar.
b) Geben Sie die wesentlichen und die unwesentlichen Klassen der Markovkette an.
c) Bestimmen Sie die Perioden der einzelnen Zuständen.
d) Schreiben Sie die allgemeinste invariante Verteilung dieser Markovkette.
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