Übungen zur Vorlesung “Einführung in die Stochastik”

Prof. Dr. Achim Klenke
Carina Brugger, M.Sc.
Übungen zur Vorlesung
“Einführung in die Stochastik”
Wintersemester 2014/2015, Blatt 6
http://www.mathematik.uni-mainz.de/arbeitsgruppen/stochastik/
Brugger/einfuehrung-in-die-stochastik
Abgabe bis Montag, den 08.12.2014, 10:00 Uhr
Aufgabe 1
(4 Punkte)
(i) Es seien X 1 , . . . ,X n unabhängige, exponential verteilte Zufallsvariablen mit Parametern θ 1 , . . . ,θ n ∈
(0, ∞). Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariablen Z := min(X 1 , . . . ,X n ).
(ii) Es seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit X ∼ expθ und Y ∼ exp ρ für gewisse θ , ρ > 0.
Zeigen Sie, dass
θ
P[X < Y ] =
.
θ +ρ
Aufgabe 2 (Box-Muller-Methode)
Die Zufallsvariablen U1 und U2 seien unabhängig und U[0,1] -verteilt.
(4 Punkte)
(i) Bestimmen Sie sowohl die gemeinsame Dichte als auch die Randdichten von
p
X 1 := −2 log U1 cos(2πU2 )
und
X 2 :=
p
−2 log U1 sin(2πU2 ).
(ii) Welche Verteilungen haben X 1 und X 2 ?
(iii) Zeigen Sie, dass X 1 und X 2 unabhängig sind.
Aufgabe 3
(4 Punkte)
Es sei (V , ∼) ein endlicher Graph, d.h. V ist eine mindestens zweielementige, endliche Menge und ∼ eine
symmetrische Relation auf V . Weiter sei (V , ∼) zusammenhängend, d.h. zu je zwei Elementen x,y ∈ V
existieren ein n ∈ N und eine Folge x 1 , . . . ,x n ∈ V mit x ∼ x 1 ∼ x 2 ∼ . . . ∼ x n ∼ y. Zwei Punkte x,y ∈ V
heißen benachbart, falls x ∼ y gilt. Mit deg(x ) := #{y ∈ V : y ∼ x } bezeichnen wir den Grad von x (bzw.
die Anzahl der Nachbarn von x).
Eine Spielfigur werde auf V zufällig bewegt indem in jedem Schritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit zufällig
ein Nachbarpunkt der aktuellen Position gewählt und die Figur dorthin geschoben wird.
(i) Modellieren Sie dies als Markovkette, d.h. geben Sie einen Zustandsraum und die zugehörigen Übergangswahrscheinlichkeiten an.
(ii) Zeigen Sie, dass genau eine invariante Verteilung π existiert. Bestimmen Sie diese.
Aufgabe 4
(4 Punkte)
Es bezeichne Wn das Wetter am Tag n mit den Zuständen R für Regen und S für Sonne. Die Wahrscheinlichkeit, dass es heute regnet, betrage 0.3, falls es die letzten beiden Tage nicht geregnet hat, und 0.6, falls
es an mindestens einem der letzten beiden Tage geregnet hat. (Wn )n ∈N ist dann keine Markovkette, aber
das Wetter der letzten beiden Tage (X n )n ≥2 mit X n = (Wn −1 ,Wn ) ist eine Markovkette mit Zustandsraum
{RR,SS,SR,RS }.
(i) Berechnen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten für (X n )n ≥2 .
(ii) Berechnen Sie die Zwei-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten für (X n )n ≥2 .
(iii) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es am Mittwoch regnet unter der Bedingung, dass es
sowohl am Sonntag, als auch am Montag davor nicht regnete.
(iv) Bestimmen Sie die invariante Verteilung π von (X n )n ≥2 .