Übung 13: Grundbegriffe mathematischer Statistik

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Übung 3: Verwendung statistischer
Tabellenwerke
Die Fragen konzentrieren sich auf Verteilungsmodelle für kontinuierliche Zufallsvariablen.
Deswegen geht es im folgenden in der Regel um Wertebereiche, denn die Wahrscheinlichkeit
eines konkreten Wertes einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist null. Bei der Bezeichnung
der Grenzen des Wertebereiches ist es daher auch egal, ob man beispielsweise von einem
Bereich "kleiner als 1 (<1)" (also ohne Einschluss der Eins) oder von einem Bereich "kleiner
bzw. gleich 1 (1)" (also inklusive der Eins) spricht.
Sie benötigen für diese Aufgaben die z-Tabelle aus dem Buch von Gehring und Weins bzw.
dem Glossar.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable
kleiner als 1 ist (gemeint ist also: 1)?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable
größer als 1,55 ist?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable
zwischen -1 und 0 liegt?
4. Betrachten Sie den linken (unteren) Bereich einer Standardnormalverteilung:
Unterhalb welchen Wertes liegen die unteren 10% aller möglichen Werte einer
standardnormalverteilten Zufallsvariablen?
5. Betrachten Sie nun den Mittelbereich einer Standardnormalverteilung (der Bereich um
den Wert 0): Zwischen welchen Werten der Zufallsvariablen liegen 90, 95 bzw. 99%
aller möglichen Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen? Der gesuchte
Wertebereich soll jeweils aus zwei gleich großen Teilen rechts und links des Wertes 0
bestehen.
6. Einkommensverteilungen sind häufig rechtschief. Für dieses Rechenbeispiel wollen
wir dennoch vereinfachend annehmen, die Einkommensverteilung in der BRD sei
symmetrisch und entspräche überdies der Normalverteilung. Wie groß ist dann die
Wahrscheinlichkeit eines Bruttoeinkommens von mindestens 3000 Euro, wenn das
Durchschnittseinkommen 2500 Euro (mit Standardabweichung 500) beträgt? Gesucht
ist also die Wahrscheinlichkeit, 3000 Euro und mehr zu verdienen.
7. Betrachten Sie noch einmal die Zufallsvariable „Augensumme“ aus zwei Würfeln aus
der letzten Übung: Zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die
Verteilungsfunktion.
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