¨Ubung Mathematik für Informatiker III/ Stochastik

B. Schmalfuß
Paderborn, den 25.11.06
Übung Mathematik für Informatiker III/ Stochastik
(4. Serie)
Spezielle Verteilungen und Parameter von Zufallsvariablen
I) Gegeben sei die Funktion


f (z) =

2
3
0
− cz
0
:
:
:
z<0
z ∈ [0, 3]
z > 3.
Für welches c ist diese Funktion eine Dichte für eine Zufallsvariable Z? Man bestimme P (Z > 2), P (1 < Z ≤ 2) und den Median z0.5 , definiert durch P (Z ≤
z0.5 ) = 0.5. (3 Punkte)
II) Die Laufzeit T eines stochastischen Suchverfahrens auf einer Workstation werde
als λ-exponentialverteilt angenommen. Weiter sei bekannt, dass die mittlere Laufzeit 70 sec beträgt.
a) Man gebe den Parameter λ der Exponentialverteilung an.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällige Lauf des Verfahrens i)
genau 50 sec bzw. ii) zwischen 60 und 70 sec dauert?
c) Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit von ii), wenn das Verfahren bereits 30
sec läuft? (3 Punkte)
3) Durch
½
FX (x) =
p
1 − e−bx , x ≥ 0
0,
x<0
(b > 0, p > 0) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Weibull-verteilten Zufallsvariablen X gegeben.
a) Man ermittle die Wahrscheinlichkeitsdichte fX .
b) Man ermittle den Median.
c) Für welchen Wert X nimmt fX den größten Wert an, falls p > 1?
4) Bei der automatischen Abfüllung von 0,5 l Milchflaschen wird das abgefüllte
Flüssigkeitsvolumen F als normalverteilt mit den Parametern µ = 500cm3 und
σ = 5cm3 angenommen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 0,5 l Flasche weniger als 490cm3
enthält?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche überläuft, wenn
i) das Volumen einer 0,5 l Milchflasche 510ml beträgt?
ii) das Volumen der Milchflasche unabhängig vom Flüssigkeitsvolumen normalverteilt mit den Parametern µf = 510cm3 und σf = 2cm3 beträgt?
V) Zwei Kondensatoren werden parallelgeschalten. Die Werte für die Kapazität C1
und C2 seien unabhängig und normalverteilt mit
µ1 = 300µF,
σ1 = 3µF
µ2 = 500Ω,
σ2 = 4µF.
und
1
In welchen Grenzen 800 − g, 800 + g liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,96 der
Gesamtkapazität?
6) Die Zufallsvariable X sei exponentialverteilt mit dem Parameter λ > 0. Man
bestimme für a)–c) den Erwartungswert EY und für a), b) die Varianz der Zufallsvariablen Y :
a) Y = e−X ,
b) Y = 2 X,
c) Y = max(X, λ−1 ).
7) Eine Zufallsvariable X sei
a) gleichmässig verteilt auf [−1, 1],
b) exponential verteilt mit Parameter λ > 0,
c) normalverteilt mit den Parametern µ, σ.
Man bestimme die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y = a + b X, a ∈
R, b 6= 0.
Abgabe: Aufgabe I, II, V bis 5.12.06