A Prof. Dr. Jürgen Bokowski Jon Nedelmann Technische Universität Darmstadt Fachbereich Mathematik Sommersemester 2000 10. Mai 2000 3. Übung zur Mathematik IV für ET Test ( T 5) Eine normalverteilte Zufallsgröße X besitze den Erwartungswert 15 und die Varianz 4. Die Wahrscheinlichkeit P (10 ≤ X ≤ 25) beträgt Φ(25) − Φ(10) Φ(5) − Φ( −5 ) 2 −5 5 Φ( 4 ) − Φ( 4 ) ( T 6) Die Zufallsgröße, die die Anzahl der ‘Wappen’, die bei 1600 Würfen mit einer Münze insgesamt auftreten, angibt, ist Bi(1600, 12 )-verteilt geometrisch verteilt mit Parameter p = 12 ungefähr N (800, 400)-verteilt Gruppenübungen ( G 7) Ein Hautarzt möchte sich eine Meinung darüber bilden, welches von zwei neu auf dem Markt angebotenen Hautpflegemitteln A und B wirksamer gegen Ekzeme ist. Dazu gibt er 14 unter Ekzemen leidenden Patienten jeweils ein Fläschchen von A und von B und bittet sie darum, darauf zu achten, welches der Hautpflegemittel die stärkere Wirkung zeigt. Er legt die folgende Entscheidungsregel fest: Wenn 11 oder mehr Patienten der Ansicht sind, dass das Mittel A (bzw. B) wirksamer ist als das andere, so wird er davon ausgehen, dass dieses Mittel eine stärkere Wirkung hat. Andernfalls wird er A und B als gleich wirksam betrachten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Arzt auf unterschiedliche Wirksamkeit schließt, falls A und B tatsächlich gleich wirksam sind? ( G 8) Die Zufallsvariable X habe die Dichte f (x) = √ (a) (b) (c) −(x+4)2 1 e 18 , 18π x∈R Bestimme Erwartungswert und Varianz von X. Zeichne die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X ins Wahrscheinlichkeitspapier. Bestimme - gegebenenfalls anhand der Zeichnung - die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (X ≥ −1), P (X ≤ −2), P (−5 ≤ X ≤ −3) ( G 9) Bei einer Fluggesellschaft ist bekannt, dass eine Platzreservierung für einen Flug auf einer bestimmten Route kurz vor Abflug mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % storniert wird. Damit die Anzahl der dadurch ungenutzten Plätze nicht zu groß wird, nimmt die Fluggesellschaft bei einem Flugzeug mit 400 Plätzen 430 Platzreservierungen vor. Es sei angenommen, dass die Entscheidungen der einzelnen Fluggäste darüber, ob die vorgenommene Platzreservierung wahrgenommen wird, unabhängig voneinander getroffen werden. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Passagiere, die keine Stornierung vornehmen. (a) Bestimme die exakte Verteilung der Zufallsvariablen X. (b) Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Personen, die nicht storniert haben, auch einen Platz erhalten. Tipp: Normalapproximation der Binomialverteilung Hausübungen ( H 9) Zum Schutz gegen Überspannung befinden sich in einem Stromkreis zwei Relais 1 und 2 mit zufälligen Schaltzeiten (Zeit vom Beginn der Überspannung bis zum Abfall des Relais). Die Schaltzeiten seien durch unabhängige N (µ1 , σ12 )- bzw. N (µ2 , σ22 )-verteilte Zufallsvariablen X1 und X2 mit µ1 = 1 [sec] und σ12 = σ22 = 0.1 [sec2 ] beschrieben; µ2 habe die Bedeutung eines einzustellenden Sollwerts. Wie groß muß µ2 gewählt werden, damit Relais 2 nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 0.01 vor Relais 0.01 abfällt, die Differenz zwischen µ2 und µ1 aber möglichst klein ist? ( H 10) Vor der Kasse des Pali-Kino warten in einer Schlange 40 Personen. Die Bedienung einer Person dauert im Mittel 50 Sekunden. Es wird angenommen, dass die Bedienungsdauer einer Person durch eine exponentialverteilte Zufallsvariable (siehe Beispiel 3 auf Seite 12 und Beispiel 8 auf Seite 19) beschrieben werden kann. Die Bedienungsdauern der einzelnen Personen seien unabhängig. Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass alle 40 Personen innerhalb von 40 Minuten bedient werden. Tipp: Zentraler Grenzwertsatz ( H 11) Die Zufallsvariable X habe die Dichte f (x) = √ x2 −12x+36 1 e− 50 , x ∈ R, 50π die Zufallsvariable Y sei N (3, 4)-verteilt. Ferner seien X und Y unabhängig. (a) Skizziere f und trage E(X) in die Skizze ein. (b) Bestimme die Verteilung der Zufallsvariablen Z = 3X − 2Y . (c) Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (0 < Z < 2), P (2Y − 1 ≤ X + 1) ( H 12) Wir beziehen uns auf Aufgabe G9. Wieviele Platzreservierungen dürfen höchstens vorgenommen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass alle Personen, die reserviert und nicht storniert haben, einen Platz bekommen, mindestens 98% beträgt?