Mathematik IV - [email protected]

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A
Prof. Dr. Jürgen Bokowski
Jon Nedelmann
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Sommersemester 2000
10. Mai 2000
3. Übung zur
Mathematik IV
für ET
Test
( T 5) Eine normalverteilte Zufallsgröße X besitze den Erwartungswert 15 und
die Varianz 4. Die Wahrscheinlichkeit P (10 ≤ X ≤ 25) beträgt
Φ(25) − Φ(10)
Φ(5) − Φ( −5
)
2
−5
5
Φ( 4 ) − Φ( 4 )
( T 6) Die Zufallsgröße, die die Anzahl der ‘Wappen’, die bei 1600 Würfen mit
einer Münze insgesamt auftreten, angibt, ist
Bi(1600, 12 )-verteilt
geometrisch verteilt mit Parameter p = 12
ungefähr N (800, 400)-verteilt
Gruppenübungen
( G 7) Ein Hautarzt möchte sich eine Meinung darüber bilden, welches von zwei
neu auf dem Markt angebotenen Hautpflegemitteln A und B wirksamer
gegen Ekzeme ist. Dazu gibt er 14 unter Ekzemen leidenden Patienten
jeweils ein Fläschchen von A und von B und bittet sie darum, darauf zu
achten, welches der Hautpflegemittel die stärkere Wirkung zeigt. Er legt
die folgende Entscheidungsregel fest: Wenn 11 oder mehr Patienten der
Ansicht sind, dass das Mittel A (bzw. B) wirksamer ist als das andere,
so wird er davon ausgehen, dass dieses Mittel eine stärkere Wirkung
hat. Andernfalls wird er A und B als gleich wirksam betrachten. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Arzt auf unterschiedliche
Wirksamkeit schließt, falls A und B tatsächlich gleich wirksam sind?
( G 8) Die Zufallsvariable X habe die Dichte
f (x) = √
(a)
(b)
(c)
−(x+4)2
1
e 18 ,
18π
x∈R
Bestimme Erwartungswert und Varianz von X.
Zeichne die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X ins Wahrscheinlichkeitspapier.
Bestimme - gegebenenfalls anhand der Zeichnung - die folgenden
Wahrscheinlichkeiten:
P (X ≥ −1), P (X ≤ −2), P (−5 ≤ X ≤ −3)
( G 9) Bei einer Fluggesellschaft ist bekannt, dass eine Platzreservierung für
einen Flug auf einer bestimmten Route kurz vor Abflug mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % storniert wird. Damit die Anzahl der dadurch
ungenutzten Plätze nicht zu groß wird, nimmt die Fluggesellschaft bei
einem Flugzeug mit 400 Plätzen 430 Platzreservierungen vor.
Es sei angenommen, dass die Entscheidungen der einzelnen Fluggäste
darüber, ob die vorgenommene Platzreservierung wahrgenommen wird,
unabhängig voneinander getroffen werden. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Passagiere, die keine Stornierung vornehmen.
(a) Bestimme die exakte Verteilung der Zufallsvariablen X.
(b) Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle
Personen, die nicht storniert haben, auch einen Platz erhalten.
Tipp: Normalapproximation der Binomialverteilung
Hausübungen
( H 9) Zum Schutz gegen Überspannung befinden sich in einem Stromkreis zwei
Relais 1 und 2 mit zufälligen Schaltzeiten (Zeit vom Beginn der Überspannung bis zum Abfall des Relais). Die Schaltzeiten seien durch unabhängige N (µ1 , σ12 )- bzw. N (µ2 , σ22 )-verteilte Zufallsvariablen X1 und
X2 mit µ1 = 1 [sec] und σ12 = σ22 = 0.1 [sec2 ] beschrieben; µ2 habe die
Bedeutung eines einzustellenden Sollwerts. Wie groß muß µ2 gewählt werden, damit Relais 2 nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 0.01
vor Relais 0.01 abfällt, die Differenz zwischen µ2 und µ1 aber möglichst
klein ist?
( H 10) Vor der Kasse des Pali-Kino warten in einer Schlange 40 Personen. Die
Bedienung einer Person dauert im Mittel 50 Sekunden. Es wird angenommen, dass die Bedienungsdauer einer Person durch eine exponentialverteilte Zufallsvariable (siehe Beispiel 3 auf Seite 12 und Beispiel 8 auf
Seite 19) beschrieben werden kann. Die Bedienungsdauern der einzelnen
Personen seien unabhängig. Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass alle 40 Personen innerhalb von 40 Minuten bedient werden.
Tipp: Zentraler Grenzwertsatz
( H 11) Die Zufallsvariable X habe die Dichte
f (x) = √
x2 −12x+36
1
e− 50 , x ∈ R,
50π
die Zufallsvariable Y sei N (3, 4)-verteilt. Ferner seien X und Y unabhängig.
(a) Skizziere f und trage E(X) in die Skizze ein.
(b) Bestimme die Verteilung der Zufallsvariablen Z = 3X − 2Y .
(c) Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P (0 < Z < 2), P (2Y − 1 ≤ X + 1)
( H 12) Wir beziehen uns auf Aufgabe G9. Wieviele Platzreservierungen dürfen
höchstens vorgenommen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass alle
Personen, die reserviert und nicht storniert haben, einen Platz bekommen, mindestens 98% beträgt?
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