TIfAI¨Ubung – Blatt 2 - TU Dortmund, Informatik 2

Beate Bollig, André Gronemeier
Lehrstuhl 2, Fakultät für Informatik
Sommersemester 2009
TIfAI Übung – Blatt 2
Ausgabedatum: 21.4.2009 — Abgabedatum: 27.4.2009, 12:00 Uhr
Abgabe:
Die Übungszettel können im LS2-Sekretariat (OH 14, Raum 306 ) abgegeben werden oder in
den TIfAI-Übungsbriefkasten (Briefkasten 11 im Pav. 6 auf dem Süd-Campus) geworfen werden.
Wichtig: Bitte die Übungsgruppe (Wochentag oder Nummer) angeben!
Informationen:
• “Wegener, Komplexitätstheorie” enthält Anhang über Wahrscheinlichkeitsrechnung.
• Es gibt ein inpud-Forum zur TIfAI-Vorlesung.
• Euch steht ein Lernraum zur Verfügung (Details siehe WWW-Seite).
Aufgabe 2.1: Turingmaschinen, Komplexitätsklasse P
Kurzaufgabe (2 Punkte):
Erkläre, warum wir in der theoretischen Informatik gerade die Klasse P als sinnvolle Modellierung effizienter Algorithmen ansehen.
Hauptaufgabe (8 Punkte):
Skizziere grob, wie man mit einer Turingmaschine eine Registermaschine mit Speicherzellen
konstanter Größe simulieren kann. Es genügt, die Hauptideen der Simulation zu beschreiben,
es ist also nicht nach einer formalen Konstruktion der simulierenden TM gefragt. Ihr dürft die
in der Vorlesung beschriebenen Arbeitserleichterungen verwenden, also zum Beispiel mehrere
Bänder und Unterprogramme.
Aufgabe 2.2: Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallsvariablen
Kurzaufgabe (2 Punkte):
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Würfeln mit zwei fairen Würfeln ein Pasch
würfelt/die Augensumme 7 würfelt/eine gerade Augensumme würfelt?
Hauptaufgabe (8 Punkte):
1. Gib ein Beispiel für drei Zufallsereignisse an, die zwar paarweise unabhängig sind, aber
alle gemeinsam nicht unabhängig sind.
2. Beweise die Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung, also beweise für die geometrisch verteilte Zufallsvariable X, dass Pr(X = n + k|X > k) = Pr(X = n) gilt.
P
i
k
Tipp: Für 0 < x < 1 gilt ∞
i=k x = x /(1 − x).
Aufgabe 2.3: Erwartungswert
Kurzaufgabe (2 Punkte):
Wie groß ist Erwartungswert der Augensumme von fünf fairen Würfeln?
Hauptaufgabe (8 Punkte):
In dieser Aufgabe wollen wir mit Hilfe der Gedächtnislosigkeit den Erwartungswert der geometrischen Verteilung bestimmen. Angenommen E ⊆ Ω ist ein Ereignis in einem diskreten
Wahrscheinlichkeitsraum über der Menge Ω und X : Ω −→ R ist eine Zufallsvariable. Dann
nennt man
X
E[X|E] =
x · Pr(X = x|E)
x∈X(Ω)
den bedingte Erwartungswert von X unter der Bedingung E.
1. Angenommen X ist eine geometrisch verteilte Zufallsvariable zum Parameter p und die
Zufallsvariable Y ∈ {0, 1} beschreibt den Ausgang des ersten Experiments, dessen wiederholte Ausführung X zugrunde liegt (d.h. falls Y = 1 ist, dann ist auch X = 1). Beweise
mit Hilfe der Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung, dass
E[X|Y = 0] = E[X] + 1 .
Tipp: Die Bedingungen Y = 0 und X > 1 sind äquivalent.
2. Die Zufallsvariablen X und Y seien so wie in der letzten Teilaufgabe definiert. Aus dem
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt unmittelbar, dass
X
E[X] =
Pr(Y = y) · E[X|Y = y] .
y∈Y (Ω)
Benutze dies zusammen mit dem letzten Ergebnis, um E[X] = 1/p zu beweisen.
Aufgabe 2.4: Zufallsbits mit beliebigen Verteilungen
Kurzaufgabe (2 Punkte):
Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit mit einem fairen Würfel eine eins zu würfeln,
unter der Bedingung dass die Augenzahl nicht sechs ist.
Hauptaufgabe (8 Punkte):
Angenommen wir benötigen eine Zufallsvariable Z ∈ {0, 1}, die mit Wahrscheinlichkeit 1/3 den
Wert 1 annimmt und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 2/3 den Wert 0 annimmt.
Uns stehen aber nur beliebig viele unabhängige gleichverteilte Zufallsbits zur Verfügung, dies
sind unabhängige Zufallsvariablen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 den Wert 0 oder 1
annehmen. Wir können diese Zufallsbits benutzen, um in einem Algorithmus Zufallsentscheidungen zu treffen, d.h. der Ablauf des Algorithmus darf von der Belegung der Zufallsvariablen
abhängen. So erhalten wir einen randomisierten Algorithmus.
Entwirf einen randomisierten Algorithmus, der unter diesen Bedingungen mit erwarteter konstanter Laufzeit (d.h. die Laufzeit ist eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert konstant ist),
eine Ausgabe aus der Menge {0, 1} mit der für Z gewünschten Verteilung ausgibt.