¨Ubung: Stochastik für LAK

Übung: Stochastik für LAK
Stefan Götz / Günther Hörmann
SS 2009
Blatt 6
51. Seien Xi diskrete, stochastisch unabhängige Zufallsvariable
mit E(Xi ) = µ
P
für 1 ≤ i ≤ n und D2 (Xi ) = σ 2 . Sei ferner X̄ =
diskrete Zufallsvariable).
Zeigen Sie:
E(X̄) = µ und E
" Pn
n
i=1
Xi
n
(also ebenfalls eine
#
− X̄)2
= σ2 !
n−1
i=1 (Xi
Hinweis: Berechnen Sie zuerst
E
" n
X
i=1
#
(Xi − X̄)2 = E
(
n
X
[(Xi − µ) − (X̄ − µ)]2
i=1
)
!
52. Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die Verteilung
1
yj
xi
1
2
2
3
0,1 0,2 0,3
0 0,2 0,2
a) Man berechne Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen X
und Y . Sind X und Y (stoch.) unabhängig voneinander?
b) Man bestimme die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz
der Summe X + Y .
c) Man bestimme die Verteilung und den Erwartungswert des Produktes
X ·Y.
d) Mit diesen Ergebnissen bestätige man die Gleichung
D2 (X + Y ) = D2 (X) + D2 (Y ) + 2 · [E(X · Y ) − E(X) · E(Y )] .
53. X sei die Anzahl der technischen Überprüfungen eines Pkw zwischen 10000
und 30000 km, Y bezeichne die Anzahl der Pannen eines solchen Pkw zwischen
10000 und 30000 km. Die Verteilungstabelle des zufälligen Vektors
X
ist durch folgende Tabelle gegeben (z. B. mittels statistischer UntersuY
chungen geschätzt):
13
xi
yj
P
h X
Y
=
0,02 0,04 0,03 0,01 0,05
0,1
0,05 0,53
0,17
0
0
i
xi
yj
0
1
0
2
0
3
1
0
1
1
1
2
2
0
2
1
Man bestimme
a) die Verteilungstabelle des Zufallsvektors
pij := P(X = xi , Y = yj ),
X
Y
mit
b) die Randverteilungen von X und Y ,
c) P(Y = 0|X = 2),
d) P(Y = 0|X ≥ 1),
e) E(X) und E(Y ).
54. Seien X1 und X2 voneinander unabhängige Zufallsvariable, welche je die
Werte 0 und 1 mit je p = 12 annehmen. Zeigen Sie: Y1 = X1 + X2 und
Y2 = |X1 − X2 | sind abhängig, aber nicht korreliert!
55.
a) Beim Roulette setze ein Spieler jeweils eine Einheit auf das erste Dutzend (Gewinn: X) und eine Einheit auf Ungerade“ (Y ). Berechnen
”
Sie den gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsvektor (Verteilung der Wahrscheinlichkeiten) und entscheiden Sie, ob X und Y stochastisch unabhängig voneinander sind! Begründen Sie Ihre Antwort sowohl in”
tuitiv“ wie auch formal-korrekt!
b) Berechnen Sie E(X + Y ) und E(X · Y )!
56. Eine homogene Münze wird dreimal geworfen. Die Zufallsvariable X sei 0,
wenn Zahl (Z) beim ersten Wurf fällt, andernfalls sei X = 1. Die Zufallsvariable Y gebe die Anzahl der auftretenden Z“ an.
”
a) Sind X und Y unabhängig voneinander?
b) Bestimmen Sie die Verteilungen von X und Y , sowie die gemeinsame
Verteilung von (X, Y ), und schreiben Sie den Wahrscheinlichkeitsvektor als Tabelle!
c) Bestimmen Sie die Kovarianz cov(X, Y )!
57. Die gleiche Fragestellung wie bei Aufgabe 56 mit folgenden Zufallsvariablen:
Eine Schachtel enthält fünf Kärtchen mit den Zahlen 1, 1, 2, 2, 3. Dieser
Schachtel wurden zwei Kärtchen zufällig entnommen, X sei die Summe, Y
das Maximum der beiden Zahlen.
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58. In einer Urne befinden sich 21 Papierstreifen. Jeder Streifen ist mit einer
der natürlichen Zahlen 1, 2, . . . , 21 versehen, wobei jede dieser Zahlen nur
einmal auftritt. Uns interessieren zwei Merkmale dieser Zahlen: die Teilbarkeit durch 2 und durch 3. Wir ziehen einen Streifen. Dem Auftreten einer
geraden Zahl ordnen wir die Zahl Eins zu, dem Auftreten einer ungeraden
Zahl die Zahl Null und bezeichnen diese zufällige Veränderliche mit X. Die
Veränderliche X nimmt also die beiden Werte x1 = 1 und x2 = 0 an. Ebenso nehme die Veränderliche Y den Wert y1 = 1 beim Auftreten einer durch
3 teilbaren Zahl und den Wert y2 = 0 beim Auftreten einer nicht durch 3
teilbaren Zahl an. Bestimmen Sie die Randverteilungen der Zufallsvariablen
X und Y und die gemeinsame Verteilung von (X, Y )!
59. Die Zufallsvariable X sei diskret verteilt mit der Verteilungstabelle:
xi
−1
0
1
pi
1
4
1
2
1
4
Des Weiteren sei Y = X 2 . Man bestimme die Kovarianz von X und Y .
60. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:
Sind X1 , . . . , Xn diskrete Zufallsvariable mit den Erwartungswerten E(Xi )
(i = 1, . . . , n), so gilt
E(X1 + . . . + Xn ) = E(X1 ) + . . . + E(Xn ) .
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