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Übung 9
Prof. Dr. A. WAKOLBINGER
Übungen zur Vorlesung
”
Wintersemester 2014/15
Stochastik für die Informatik “
Abgabe der Lösungen zu den S-Aufgaben: Dienstag, 13. Januar 2014, vor der Vorlesung (10:05-10:15 im Magnus HS)
33. Die Zufallsvariable Y sei normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 = 9. Finden
Sie ein aus Y gewonnenes zufälliges Intervall, das für jede denkbare Wahl des Parameters µ diesen
Parameter mit Wahrscheinlichkeit 0.95 enthält.
34. S. In 36 Laboratorien wurden Messungen durchgeführt, man stellt sich vor, dass sie
als unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariable (mit endlichem Erwartungswert) zustande kamen, die somit von der Form Xi = µ + Zi sind, mit unabhängigen, identisch verteilten, zentrierten
Zufallsvariablen Zi (“zentriert” bedeutet “mit Erwartungswert Null”). Als Stichprobenmittelwert
und (modifizierte) Stichprobenvarianz aus den 36 Messungen ergaben sich die Werte m = 27.8
und s2 = 0.16. Es geht darum, den Modellparameter µ “mit Konfidenz” zu schätzen.
a) Wie groß ist der Standardfehler, d.h. die geschätzte Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes X̄?
b) Geben Sie die aus den Daten abgelesene Realisierung eines zufälligen Intervalls an, das den
Parameter µ mit Wahrscheinlichkeit ≈ 0.95 enthält.
c) Angenommen µ = 28. Wie wahrscheinlich ist es dann (approximativ), dass der zufällige
Stichprobenmittelwert um mindestens so viel von µ abweicht wie der beobachtete Wert m = 27.8?
(Hinweis: Den Wert Φ(a) der Standard-Normalverteilungsfunktion Φ bekommen Sie mit dem
Befehl pnorm(a).)
35. (a) In der Vorlesung hatten wir aus der Rotationssymmetrie der zweidimensionalen
Standard-Normalverteilung begründet, dass für unabhängige, N(0, 1)-verteilte Z1 , Z2 und Zahlen
τ1 , τ2 mit τ12 + τ22 = 1 auch Y := τ1 Z1 + τ2 Z2 standard-normalverteilt ist. (Sie erinnern sich:
~ und (τ1 , τ2 ) als die
Interpretiert man (Z1 , Z2 ) als die gewöhnlichen Koordinaten des Vektors Z
~
gewöhnlichen Koordinaten des Einheitsvektors ~τ , dann ist Y die ~τ -Koordinate von Z.)
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Es sei nun X1 eine N(µ1 , σ1 )-verteilte Zufallsvariable, X2 eine N(µ2 , σ2 ) verteilte Zufallsvariable,
und X1 , X2 seien unabhängig. Folgern Sie aus dem eben Gesagten, dass X1 + X2 normalverteilt
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ist mit Erwartungswert µ1 + µ2 und Varianz
p σ1 + σ2 .
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(Hinweis: Stellen Sie (X1 +X2 −(µ1 +µ2 ))/ σ1 + σ2 als Linearkombination von Z1 := (X1 −µ1 )/σ1
und Z2 := (X2 − µ2 )/σ2 dar).
(b) X1 sei N(µ1 , 0.09)-verteilt, X2 sei N(µ2 , 0.16) verteilt, und X1 , X2 seien unabhängig.
Angenommen die beiden Parameter µ1 und µ2 sind gleich.
(i) Ist die Wahrscheinlichkeit, dass |X1 − X2 | mindests so groß ausfällt wie 1.1, größer oder kleiner
als 0.05?
(ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt |X1 − X2 | mindests so groß aus wie 1.1?
(Hinweis: (i) können Sie im Kopf lösen, für (ii) ist der R-Befehl pnorm(1.1,sd=0.5) hilfreich warum?)
36 S. Z1 und Z2 seien Zufallsvariable mit Korrelationskoeffizient 1/4. Ihre Erwartungswerte seien 1 bzw.−1, ihre Varianzen 1 bzw 4. Wir betrachten X := Z1 − Z2 + 1, Y := 3Z1 + 2Z2 − 2.
Berechnen Sie
(i) die Varianzen von X und Y ,
(ii) Kovarianz und Korrelationskoeffizient von X und Y ,
(iii) diejenige affin lineare Funktion h, für die der erwartete quadratische Abstand von Y und
h(X) minimal wird.