¨Ubungen zur Modellbildung in der Stochastik

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
WS 06/07
04.12.2006
Blatt 7
Prof. Dr. F. Jarre / K. Hauk / H. Ünlü
Übungen zur Modellbildung in der Stochastik
Aufgabe 25: Es sei X eine exponential-verteilte Zufallsvariable zum Parameter λ > 0.
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X).
b) Bestimmen Sie die Varianz V ar(X).
c) Nehmen Sie an, dass die Lebenszeit einer Glühbirne sich durch eine zum Parameter
λ > 0 exponential-verteilte Zufallsvariable beschreiben lässt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P (X > E(X)), dass die Glühbirne überdurchschnittlich lange hält?
d) Zeigen Sie, dass für s, t ∈ R+ die Gleichung P (X ≥ t + s|X ≥ t) = P (X ≥ s) gilt.
Aufgabe 26: Ein Würfel, dessen Seiten wie folgt beschriftet sind
1 ; 1 ; 1 ; 3 ; 3 ; 4,
wird einmal geworfen. Es bezeichne X die gewürfelte Augenzahl und X1 := 3·X. Ferner sei
X2 gleich 1, falls eine gerade Augenzahl gewürfelt wurde, und gleich 2, falls eine ungerade
Augenzahl gewürfelt wurde.
a) Sind X1 und X2 unabhängig?
b) Berechnen Sie E(X1 · X2 ).
c) Berechnen Sie Var(X1 · X2 ).
Aufgabe 27: Im folgenden seien X, X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilte reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F (d.h. es ist F (t) = P (X ≤ t) = P (Xi ≤ t) für
t ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, und die Zufallsvariablen X, X1 , . . . , Xn sind stochastisch unabhängig).
a) Bestimmen Sie für s, t ∈ R den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen
1(−∞,t] (X) sowie die Kovarianz von 1(−∞,s] (X) und 1(−∞,t] (X).
P
b) Bestimmen Sie für t ∈ R die Verteilung der Zufallsvariablen Yn,t := ni=1 1(−∞,t] (Xi ).
c) Bestimmen Sie für t ∈ R den Erwartungswert und die Varianz von F̂n,t := n1 Yn,t .
P
(Anmerkung: Die Abbildung F̂n : R × Ω → [0, 1], (t, ω) 7→ n1 ni=1 1(−∞,t] (Xi (ω)) heißt
die empirische Verteilungsfunktion zu den Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn . Für festes t ∈
R ist die Abbildung F̂n,t : ω 7→ F̂n (t, ω) eine reelle Zufallsvariable; für festes ω ∈ Ω ist
die Abbildung t 7→ F̂n (t, ω) eine Verteilungsfunktion.)
Aufgabe 28: Betrachten Sie den Münzwurf mit den möglichen Ausgängen Kopf und
Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Kopf sei p ∈ (0, 1), für das Ereignis Zahl
q = 1 − p. Sei r ∈ N gegeben. Es werden solange unabhängige Wiederholungen dieses
Experiments durchgeführt, bis zum r-ten Mal Kopf auftritt.
a) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass hierfür genau r +k Wiederholungen
nötig sind, für k ∈ IN0
¶
µ
r+k−1 r k
Pr,p ({k}) =
p q
k
beträgt.
(Diese Verteilung nennt man negative Binomialverteilung zu den Parametern r und
p.)
b) Zeigen Sie, dass die
Funktion für das Gesamtexperiment aus Teilaufgabe
³ erzeugende
´
r
p
a) durch gr (x) = 1−q
gegeben ist.
x
Hinweis:
∞ ¡ ¢
¡ ¢ ¡r+k−1¢
¡ ¢
P
(−r)·(−r−1)·...·(−r−(k−1))
−r
k
k −r
−r
x
und
(−1)
=
.
Mit −r
:=
gilt
(1+x)
=
k
k
k
k
k!
k=0
c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des Gesamtexperiments mit Hilfe
der erzeugenden Funktion.
d) Seien X und Y unabhängige Zufallsvariable, wobei X negativ binomialverteilt zu den
Parametern r und p ist und Y negativ binomialverteilt zu den Parametern s und p
(s ∈ N). Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y .
Hinweis: Benutzen Sie in c) und d) erzeugende Funktionen.
Abgabe: Montag, 11.12.2006 bis 11 Uhr in den Übungsbriefkästen