Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf WS 06/07 04.12.2006 Blatt 7 Prof. Dr. F. Jarre / K. Hauk / H. Ünlü Übungen zur Modellbildung in der Stochastik Aufgabe 25: Es sei X eine exponential-verteilte Zufallsvariable zum Parameter λ > 0. a) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X). b) Bestimmen Sie die Varianz V ar(X). c) Nehmen Sie an, dass die Lebenszeit einer Glühbirne sich durch eine zum Parameter λ > 0 exponential-verteilte Zufallsvariable beschreiben lässt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P (X > E(X)), dass die Glühbirne überdurchschnittlich lange hält? d) Zeigen Sie, dass für s, t ∈ R+ die Gleichung P (X ≥ t + s|X ≥ t) = P (X ≥ s) gilt. Aufgabe 26: Ein Würfel, dessen Seiten wie folgt beschriftet sind 1 ; 1 ; 1 ; 3 ; 3 ; 4, wird einmal geworfen. Es bezeichne X die gewürfelte Augenzahl und X1 := 3·X. Ferner sei X2 gleich 1, falls eine gerade Augenzahl gewürfelt wurde, und gleich 2, falls eine ungerade Augenzahl gewürfelt wurde. a) Sind X1 und X2 unabhängig? b) Berechnen Sie E(X1 · X2 ). c) Berechnen Sie Var(X1 · X2 ). Aufgabe 27: Im folgenden seien X, X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilte reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F (d.h. es ist F (t) = P (X ≤ t) = P (Xi ≤ t) für t ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, und die Zufallsvariablen X, X1 , . . . , Xn sind stochastisch unabhängig). a) Bestimmen Sie für s, t ∈ R den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen 1(−∞,t] (X) sowie die Kovarianz von 1(−∞,s] (X) und 1(−∞,t] (X). P b) Bestimmen Sie für t ∈ R die Verteilung der Zufallsvariablen Yn,t := ni=1 1(−∞,t] (Xi ). c) Bestimmen Sie für t ∈ R den Erwartungswert und die Varianz von F̂n,t := n1 Yn,t . P (Anmerkung: Die Abbildung F̂n : R × Ω → [0, 1], (t, ω) 7→ n1 ni=1 1(−∞,t] (Xi (ω)) heißt die empirische Verteilungsfunktion zu den Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn . Für festes t ∈ R ist die Abbildung F̂n,t : ω 7→ F̂n (t, ω) eine reelle Zufallsvariable; für festes ω ∈ Ω ist die Abbildung t 7→ F̂n (t, ω) eine Verteilungsfunktion.) Aufgabe 28: Betrachten Sie den Münzwurf mit den möglichen Ausgängen Kopf und Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Kopf sei p ∈ (0, 1), für das Ereignis Zahl q = 1 − p. Sei r ∈ N gegeben. Es werden solange unabhängige Wiederholungen dieses Experiments durchgeführt, bis zum r-ten Mal Kopf auftritt. a) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass hierfür genau r +k Wiederholungen nötig sind, für k ∈ IN0 ¶ µ r+k−1 r k Pr,p ({k}) = p q k beträgt. (Diese Verteilung nennt man negative Binomialverteilung zu den Parametern r und p.) b) Zeigen Sie, dass die Funktion für das Gesamtexperiment aus Teilaufgabe ³ erzeugende ´ r p a) durch gr (x) = 1−q gegeben ist. x Hinweis: ∞ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡r+k−1¢ ¡ ¢ P (−r)·(−r−1)·...·(−r−(k−1)) −r k k −r −r x und (−1) = . Mit −r := gilt (1+x) = k k k k k! k=0 c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des Gesamtexperiments mit Hilfe der erzeugenden Funktion. d) Seien X und Y unabhängige Zufallsvariable, wobei X negativ binomialverteilt zu den Parametern r und p ist und Y negativ binomialverteilt zu den Parametern s und p (s ∈ N). Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y . Hinweis: Benutzen Sie in c) und d) erzeugende Funktionen. Abgabe: Montag, 11.12.2006 bis 11 Uhr in den Übungsbriefkästen