Ubungen zur Modellbildung in der Stochastik - Heinrich

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
WS 06/07
11.12.2006
Blatt 8
Prof. Dr. F. Jarre / K. Hauk / H. Ünlü
Übungen zur Modellbildung in der Stochastik
Aufgabe 29: Seien U1 , U2 und V unabhängige, reelle Zufallsvariable. Dabei mögen die
Ui die Verteilungsfunktion Fi , den Erwartungswert µi ∈ R und die Varianz σi2 > 0 für
i = 1, 2 besitzen, während V B(1, p)-verteilt für p ∈ [0, 1] sei.
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen
W := V U1 + (1 − V )U2 .
Aufgabe 30: Seien X und Y unabhängige Zufallsvariable. Die Zufallsvariable X sei
B(1, p)-verteilt für einen Parameter p ∈ (0, 1) und Y sei Poisson-verteilt zu einem Parameter λ > 0.
Durch Z := XY ist eine neue Zufallsvariable definiert. Berechnen Sie
a)
b)
c)
d)
E(X + Y ), V ar(X + Y ) und V ar(Z).
Cov(X + Y, X − Y ) und Cov(X + Y, Z).
die Verteilung von Z, d.h. die Wahrscheinlichkeit P ({Z = k}) für alle k ∈ N0 .
die erzeugende Funktion f Z .
Hinweis: Der Erwartungswert und die Varianz der Binomial- bzw. Poisson-verteilung
können als bekannt vorausgesetzt werden.
Aufgabe 31: Es seien Y0 , . . . , Yn unabhängige identisch verteilte Zufallsvariable mit
P Y0 = N (0, 1). Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien wie folgt definiert:
1
Xi := √ (Yi−1 + Yi ) , 1 ≤ i ≤ n.
2
Berechnen Sie die Kovarianz Cov(Xi , Xj ), 1 ≤ i, j ≤ n und zeigen Sie:
Ã
!
n
1X
lim P |
Xi − µ| ≥ ε = 0 ∀ε > 0.
n→∞
n i=1
Aufgabe 32: Sei Xn : Ω → R eine Folge paarweise negativ korrelierter Zufallsvariablen,
d.h. Cov(Xi , Xj ) ≤ 0 für alle i 6= j. Weiterhin gelte: V ar(Xi ) =: σ 2 < ∞ für alle i ∈ N.
Zeigen Sie:
n
1X
(Xi − E(Xi )) −−−→ 0 P -stochastisch,
n→∞
n i=1
d.h. für alle ε > 0 gilt
¯
Ã(¯ n
)!
¯1 X
¯
¯
¯
(Xi − E(Xi ))¯ ≥ ε
−−−→ 0.
P
¯
n→∞
¯
¯n
i=1
Abgabe: Montag, 18.12.2006 bis 11 Uhr in den Übungsbriefkästen