Induktive Statistik - Formeln und Konventionen (I)

Induktive Statistik - Formeln und Konventionen (I)
Elementarereignisse: ei
Ereignisraum: S = {e1, ..., en}
Ereignis: A (Teilmenge des Ereignisraums S)
Zufallsvariable: X
Ausprägungen einer Zufallsvariable: x
Wahrscheinlichkeit P von A ist P(A)
∣A∣
klassisch: P  A=
statistisch:
∣S∣
P  A=lim
n ∞
h n  A
n
Axiome der Wahrscheinlichkeit: (I) 0P  A1
(II) P S =1
(III) wenn P  A∩B=∅ dann P  A∪B=P  AP  B
Additionssatz:
P  A∪ B=P  AP  B− P  A∩ B
Bedingte Wahrscheinlichkeit (Definition):
P  B / A=
P  A∩B
mit P(A) > 0
P  A
 ∧ P  A/ B=P  A/ B
 
Unabhängigkeit von Ereignissen:  P  B / A=P  B/ A
Multiplikationssatz: P  A∩B=P  A∗P  B / A ;
für unabhängige Ereignisse: P  A∩B=P  A∗P  B
n
Theorem der totalen Wahrscheinlichkeit:
P  A=∑ P  B i ∗P  A/ B i 
i=1
P  B P  A/ B
Bayessche Regel: P  B / A=
→
P  A
P  B / A=
P  B P  A/ B
n
∑ P  Bi ∗P  A/ Bi 
i=1
P  B P  A/ B
spezieller: P  B/ A=
PB

P  A/ B P  BP  A/ B
P e i 
Wahrscheinlichkeit für bestimmte Ausprägung einer Zufallsvariablen: P  X = x i = X e∑
=x
i
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen:
F  x=P  X  x= ∑ f  x i 
Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen:
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen:
f  x i =P  X =x i 
xi x
E  X =∑ x i f  x i 
i
Varianz einer diskreten Zufallsvariablen: Var  X =∑ [ x i −E  X ] ² f  x i 
i
i