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UniBwM, Fakultät EIT, Neubiberg, 18.2.08
Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie, Blatt 6
Aufgabe 1
Ein - schlecht vorbereiteter - Student nimmt an einer Klausur teil, die aus 10 Fragen besteht. Die
Wahrscheinlichkeit, daß er eine Frage richtig beantwortet, sei 0.5. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß er
a) alle 10 Fragen richtig beantwortet?
b) fünf Fragen richtig und fünf Fragen falsch beantwortet?
c) Frage Nr.1 bis Frage Nr.5 richtig und alle übrigen Fragen falsch beantwortet?
d) mindestens zwei Fragen richtig beantwortet?
Hinweis: Fassen Sie die Antworten als unabhängige Bernoullivariablen X1, ..., X10 mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0.5 auf (etwa 1  richtig, 0  falsch); siehe auch Beispiel nach 3.4.
Aufgabe 2
Sei (pn: n0ù) eine Zahlenfolge in [0,1] und sei (Xn: n0ù) eine unabhängige Folge von
Zufallsvariablen auf dem W-Raum (S, A, P), wobei für jedes n0ù Xn eine Bernoullivariable mit
dem Parameter pn ist. Zeigen Sie:
∞
Die Reihe
∑
∞
X n konvergiert eigentlich P-f.s genau dann, wenn
n= 1
∑p
n
<∞.
n= 1
Hinweis: Borel-Cantelli 3.8
Aufgabe 3
Die Folge (Xn: n0ù) von diskreten reellen Zufallsvariablen sei unabhängig und identisch verteilt
mit dem Träger T = {-1, 1} und der W-Funktion f(-1) = f(1) = 0.5 (jedes Xn nimmt also nur die
Werte -1 und +1 mit der Wahrscheinlichkeit 0.5 an). Für jedes n0ù sei Sn = X1 + ... + Xn .
a) Bestimmen Sie für beliebiges n0ù einen Träger und die W-Funktion der diskreten
Zufallsvariabeln Sn.
b) Berechnen Sie P(Sn $ 0 für n=1,2,3,4) und P(Sn $ 0 für n=1,2,3,4 | S4 = 0).
Hinweis zu a): Für n0ù sei Yn = 0.5 (Xn + 1). Dann ist (Yn: n0ù) eine unabhängige Folge von
Bernoullivariablen mit dem identischen Parameter p = 0.5. Stellen Sie Sn durch Y1, ..., Yn dar
und beachten Sie das Beispiel zu 3.4 - Binomialverteilung.
Aufgabe 4
Seien S = [-1/2, 1/2], A die F-Algebra der Borelschen Teilmengen von S, P die Restriktion des
Lebesguemaßes auf den Meßraum (S, A) (vgl. Blatt 3, Aufgabe 3). Untersuchen Sie, ob die
folgenden Funktionen f: S 6 ú Elementarfunktionen auf dem W-Raum (S, A , P) sind.
a) f(T) = 0 für T#0, bzw. f(T) = 1 für T>0;
b) f(T) = T für alle T0S;
c) f(T) = 1, falls T eine rationale Zahl ist, bzw. f(T) = 0 sonst;
d) f(T) = T, falls T eine rationale Zahl ist, bzw. f(T) = 1 sonst.
Berechnen Sie jeweils den Erwartungswert von f.