Blatt 4

Prof. Dr. Cornelia Pokalyuk
Dr. Nadja Malevich
Wintersemester 2015/16
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Blatt 4 Mathe/Inf (Ba)
Abgabe am 11.11.2015, zum Vorlesungsbeginn
Besprechung am 19.11.2015
Aufgabe 17
(6 Punkte)
X und Y zwei reelwertige Zufallsvariablen mit E(X 2 ) < ∞, E(Y 2 ) < ∞
V(Y ) > 0. Die Zufallsvariable X̂ = β1 + β2 Y mit
p
V(X)
Corr(X, Y )
und
β1 = E(X) − β2 E(Y )
β2 = p
V(Y )
Es seien
X
heiÿt beste lineare Vorhersage von
bzgl.
Y
und
(siehe Satz 1.5.7).
(a) Beweisen Sie die Gültigkeit der drei Gleichungen:
E(X̂) = E(X),
V(X − X̂) = V(X) (1 − Corr2 (X, Y )),
V(X) = V(X̂) + V(X − X̂).
(b) Ein fairer Würfel werde zweimal geworfen.
bezeichne die Augenzahl des
Vorhersage von
Aufgabe 18
Es seien
X
Y
bzgl.
i-ten
Die Würfe seien unabhängig und
Wurfes (i
für den Fall
= 1, 2). Geben Sie die beste
X = X2 − X1 und Y = X1 an.
zwei unabhängige Zufallsvariablen auf einem diskreten W-Raum
Beweisen Sie:
X∼
Bi(n, p) und
Y ∼
Bi(m, p) mit
n, m ∈ N, p ∈ [0, 1],
X + Y ∼ Bi(n + m, p).
(b) Wenn
lineare
(4 Punkte)
X und Y
(a) Wenn
Xi
X∼
Po(λ1 ) und
Y ∼
Po(λ2 ) mit
λ1 , λ2 > 0,
dann
X + Y ∼ Po(λ1 + λ2 ).
1
dann
(Ω, 2Ω , P).
Aufgabe 19
(keine Abgabe)
X1 und X2 zwei unabhängige
(Ω, 2 , P) mit der folgenden Verteilung:
Es seien
Ω
3
P(Xi = 1) = ,
8
1
P(Xi = 0) = ,
8
Finden Sie die Verteilung von
Aufgabe 20
Zufallsvariablen auf einem diskreten W-Raum
X 1 + X2 .
1
P(Xi = 2) = ,
2
Berechnen Sie
i = 1, 2.
V(X1 + X2 ).
(4 Punkte)
Ein Meinungsforschungsinstitut führt eine repräsentative Umfrage durch, um den Stimmenanteil
p ∈ (0, 1)
für eine Partei
A
zu prognostizieren.
Der Stichprobenumfang soll
so gewählt werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.95 der zufällige
Stimmenanteil in der Stichprobe um höchstens 2 Prozentpunkte vom wahren Stimmenanabweicht. (Betrachten Sie die Anzahl Xn der A-Wähler in einer Stichprobe vom
X
Umfang n und das Ereignis | n − p| < 0.02.)
n
teil
p
Bestimmen Sie ein solches
nichts weiter bekannt ist,
n mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschow, wenn (i) über p
(ii) wenn man weiss, dass p < 0.1 gilt.
2