Verteilung von Zufallsvariablen Mai 2014

Verteilung von Zufallsvariablen
Mai 2014
Wir verstehen unter einer Zufallsvariablen X eine Größe, die – vom Zufall gesteuert –
reelle Zahlen x als Werte annimmt.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der sie ihre Werte x jeweils annimmt, nennt man die
Verteilung der Zufallsvariablen.
Gibt es für X höchstens abzählbar (unendlich) viele Möglichkeiten Zahlen x
anzunehmen so sprechen wir von einer diskreten Verteilung.
(Sonst: kontinuierliche Verteilung oder stetige Verteilung)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Werte, die eine diskrete Zufallsvariable annehmen kann, bezeichnen wir mit
a1, a2, a3, ....,ak.
Die Funktion f mit
 P(X = x) für x ∈ { a1,a 2,a 3 ,.....ak }
f(x) = 
für alle übrigen x
0
heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der gegebenen diskreten Verteilung.
Bemerkung: Zumeist sind die ai aus der Menge {0,1,2,....,k}.
Erwartungswert
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X, die die Werte a 1, a2, a3, ....,ak
annehmen kann, ist als Mittelwert der Werte von X bei einer großen Anzahl von
Versuchen anzusehen. Es wird definiert:
å a × P( X = a )
k
E(X) = a1⋅P(X = a1) + a2⋅P(X = a2) + ..........+ ak⋅P(X = ak) =
Der Erwartungswert E(X) wird auch mit µ bezeichnet.
i =1
i
i
Streumaße: Varianz und Standardabweichung
Die Streuung der Zufallsvariablen X, die die Werte a 1, a2, a3, ....,ak annehmen kann und
die den Erwartungswert E(X) = µ hat, wird durch die Varianz V(X) gemessen. Es wird
definiert:
V(X) = (a1 − µ)2⋅P(X = a1) + (a2 − µ)2⋅P(X = a2) + ……..+ (ak − µ)2⋅P(X = ak )
2
V(X) = å (ai - m ) × P ( X = ai )
k
Kurzschreibweise:
i =1
Die Varianz V(X) wird auch mit σ2 bezeichnet.
σ2 = V(X) und σ = V (X ) heißt Standardabweichung von X.