Biostatistik

Prof. Dr. Achim Klenke
M.Sc. Jérôme Blauth
9. Übung zur Vorlesung
Biostatistik
im Wintersemester 2014/2015
Aufgabe 1:
Beim europäischen Roulette gibt es jeweils
18
Zahlen der Farben Schwarz und Rot, sowie die
10 mal
10 Euro auf die Farbe Schwarz setzen. Sie haben genau 100 Euro dabei.
Null, die keine der beiden Farben trägt. Bei einem Besuch im Spielkasino wollen Sie
hintereinander jeweils
Mit wie viel Geld werden Sie im Mittel (d.i. im Sinne eines Erwartungswertes) nach Hause
gehen? Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie mit R das Experiment mit
10000
100, 1000
und
Durchläufen simulieren und jeweils den Mittelwert der Gewinne ausrechnen.
Aufgabe 2:
(a) Es sei
X
eine Zufallsvariable mit
P[X = 0] =
Bestimmen Sie den Erwartungswert und die
1
6,
P[X = 1] =
Varianz von X .
1
2 und
P[X = 2] =
1
3.
(b) Wir betrachten nun eine Population von Zellen. Nach einem Tag
stirbt eine Zelle mit Wahrscheinlichkeit
überlebt sie mit Wahrscheinlichkeit
1
6
1
2
oder sie teilt sich mit Wahrscheinlichkeit
1
3 in zwei Zellen
jeweils unabhängig von allen anderen Zellen. Die Population besteht heute aus
len. Mit
Y
bezeichnen wir die Populationsgröÿe morgen. Bestimmen Sie Erwartungswert
und Varianz von
(c) Sei nun
Y
6000 Zel-
Y.
wie in (b). Verwenden Sie den zentralen Grenzwertsatz, um die Wahrschein-
6900 Zellen vorhanden sind, ungefähr zu bestimmen.
1000 Wiederholungen des Versuchs durch und bestimmen
mit strikt weniger als 6900 Zellen.
lichkeit, dass strikt weniger als
Führen Sie sodann mit R
Sie den Anteil der Versuche
Aufgabe 3:
Sie möchten die Gröÿe einer Feldhamsterpopulation auf einer Wiese schätzen. Dazu stellen
Sie über Nacht Lebendfallen auf. Sie markieren die 11 gefangenen Individuen mit Ringen und
lassen sie wieder frei. In der nächsten Nacht fangen Sie 17 Individuen, von denen 5 markiert
sind. Für welche Populationsgröÿe
N
wird die Wahrscheinlichkeit für den Fang der zweiten
Nacht maximal?
Hinweis: Raten Sie geschickt und überprüfen Sie Ihre Annahme.
Aufgabe 4:
Ordnen Sie die folgenden Zufallsvariablen den Histogrammen zu. Die Fläche der Histogramme
ist auf Eins normiert.
Achtung: Es handelt sich um simulierte Werte.
i)
X1 =
P2000
i=1
Yi , wobei Y1 , Y2 , . . . unabhängige, auf dem Intervall [−1, 1] uniform verteilte
Zufallsvariablen sind.
ii)
X2 =
P1000
i=1
Zi , wobei Z1 , Z2 , . . . unabhängige, auf dem Intervall [−2, 2] uniform verteilte
Zufallsvariablen sind.
iii)
X3
ist poissonverteilt mit Parameter
λ = 5.
iv)
X4
ist normalverteilt mit Parametern
v)
X5
ist binomialverteilt mit Parametern
µ = 20
und
n = 100
σ 2 = 16.
und
p=
1
5.