Prof. Dr. Achim Klenke Fridolin Kielisch 10. Übung zur Vorlesung „Biostatistik“ im Sommersemester 2015 Aufgabe 1: Ordnen Sie die folgenden Zufallsvariablen den Histogrammen zu. Die Fläche der Histogramme ist auf Eins normiert. P i) X1 = 2000 i=1 Yi , wobei Y1 , Y2 , . . . unabhängige, auf dem Intervall [−1, 1] uniform verteilte Zufallsvariablen sind. P ii) X2 = 1000 i=1 Zi , wobei Z1 , Z2 , . . . unabhängige, auf dem Intervall [−2, 2] uniform verteilte Zufallsvariablen sind. iii) X3 ist poissonverteilt mit Parameter λ = 5. iv) X4 ist normalverteilt mit Parametern µ = 19.5 und σ 2 = 16. 0.010 Density 0.00 0.000 0.005 0.10 0.05 Density 0.15 0.015 0.20 v) X5 ist binomialverteilt mit Parametern n = 100 und p = 15 . 0 2 4 6 8 10 12 14 −100 −50 0 50 100 x 0.06 Density 0.04 0.02 0.004 0.00 0.000 Density 0.008 0.08 0.10 x −150 −100 −50 0 x 50 100 150 5 10 15 20 25 x 30 35 Aufgabe 2: (a) Es sei X eine Zufallsvariable mit P[X = 0] = 16 , P[X = 1] = Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. 1 2 und P[X = 2] = 1 3. (b) Wir betrachten nun eine Population von Zellen. Nach einem Tag – stirbt eine Zelle mit Wahrscheinlichkeit – überlebt sie mit Wahrscheinlichkeit 1 6 1 2 – oder sie teilt sich mit Wahrscheinlichkeit 1 3 in zwei Zellen jeweils unabhängig von allen anderen Zellen. Die Population besteht heute aus 6000 Zellen. Mit Y bezeichnen wir die Populationsgröße morgen. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von Y . (c) Sei nun Y wie in (b). Verwenden Sie den zentralen Grenzwertsatz, um die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 6900 Zellen vorhanden sind, ungefähr zu bestimmen. Führen Sie sodann mit „R“ 1000 Wiederholungen des Versuchs durch und bestimmen Sie den Anteil der Versuche mit weniger als 6900 Zellen. Aufgabe 3: Sie möchten die Größe einer Feldhamsterpopulation auf einer Wiese schätzen. Dazu stellen Sie über Nacht Lebendfallen auf. Sie markieren die 11 gefangenen Individuen mit Ringen und lassen sie wieder frei. In der nächsten Nacht fangen Sie 17 Individuen, von denen 5 markiert sind. Für welche Populationsgröße N wird die Wahrscheinlichkeit für den Fang der zweiten Nacht maximal? Hinweis: Raten Sie und überprüfen Sie Ihre Vermutung. Aufgabe 4: Beim Spaziergang lässt sich die Rotflügelige Ödlandschrecke leicht von der Blauflügeligen Ödlandschrecke unterscheiden: Fliegen die Tiere auf, kann man deutlich die Farbe der Hinterflügel erkennen. Die Rotflügelige Ödlandschrecke gilt in Deutschland als vom Aussterben bedroht. a) Auf einer Wanderung scheuchen Sie Ödlandschrecken auf und zählen 8 blauflügelige Exemplare, bevor Sie das erste rotflügelige Individuum entdecken. Für welchen Anteil der Rotflügeligen Ödlandschrecken wird die Wahrscheinlichkeit für Ihre Beobachtung maximal? b) Betrachten Sie nun den allgemeinen Fall, dass Sie k blauflügelige Exemplare zählen, bevor Sie das erste rotflügelige Individuum entdecken. Wie lautet der Maximum-LikelihoodSchätzer für den Anteil der Rotflügeligen Ödlandschrecken? Ist der Schätzer erwartungstreu?