Statistik II Prof. Dr. Bernd Wilfling Dipl.-Vw. Heike Bornewasser-Hermes Sommersemester 2011 Übungsblatt 11 (4. bis 8. Juli) Intervallschätzer 1. X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit µ = 3 und σ 2 = 4. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt ein zufällig erzeugtes X in dem Intervall [2, 4]? (b) Wie lautet das um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem X mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt? (c) X̄ sei das arithmetische Mittel einer Stichprobe vom Umfang n = 4 aus dieser Normalverteilung. Wie ist X̄ verteilt? (d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt X̄ in dem Intervall [2, 4]? (e) Wie lautet das um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem X̄ mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt? 2. X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 = 4. Ihnen liegt folgende Stichprobe aus dieser Verteilung vor: 0.23 2.50 5.91 4.30. (a) Wie lautet der Punktschätzer für µ? (b) Wie lautet das Intervall, in dem Sie µ mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % vermuten? (c) Wie würde das Intervall lauten, wenn Sie weder µ noch σ 2 kennen? 1 3. Auf einer Maschine werden Werkstücke hergestellt, deren Länge nährungsweise normalverteilt ist. Eine konkrete Stichprobe von 10 Stücken ergab die folgenden Werte (in mm): 42.8; 36.9; 41.2; 39.3; 40.4; 35.7; 37.6; 43.5; 35.6; 36.8 Berechnen Sie die Grenzen des konkreten Konfidenzintervalls für den unbekannten Erwartungswert der Fertigung zum Konfidenzniveau 1 − α = 0.95. 4. Ein Statistiker sieht sich in der Zeit vom 2.2.2011 bis zum 19.2.2011 alle Folgen der Show WER WIRD MILLIONÄR an und notiert sich am Ende der Sendung den realisierten Gesamtgewinn des Tages. Es ergaben sich folgende Werte (in Tausend Euro): 34; 17; 96; 33; 189; 282; 33; 66; 64 Wir gehen davon aus, dass die Gesamtgewinne nährungsweise normalverteilt sind. Bestimmen Sie für den unbekannten Parameter µ dieser Normalverteilung ein Konfidenzintervall, das µ mit einer Wahrscheinlichkeit 0.95 überdeckt und berechnen Sie anhand der erhobenen Daten das konkrete Konfidenzintervall. 2