Tutorium 11

Statistik 2 (SS 2013)
Prof. Dr. Mark Trede
Fabian Gößling B.Sc.
1. bis 5. Juli
Tutorium 11
Intervallschätzer
Aufgabe 1
X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit µ = 3 und σ 2 = 4.
a. X̄ sei das arithmetische Mittel einer Stichprobe vom Umfang n = 4 aus dieser
Normalverteilung. Wie ist X̄ verteilt?
b. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt X̄ in dem Intervall [2, 4]?
c. Wie lautet das um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem X̄ mit
einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt?
Aufgabe 2
X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 = 4.
Ihnen liegt folgende Stichprobe aus dieser Verteilung vor:
0.23 2.50 5.91 4.30.
a. Wie lautet der Punktschätzer für µ?
b. Wie lautet das konkrete Intervall, in dem Sie µ mit einer Wahrscheinlichkeit von
90 % vermuten?
c. Wie würde das konkrete Intervall lauten, wenn Sie weder µ noch σ 2 kennen?
Aufgabe 3
Für empirische Fragestellungen ist die Frage nach dem Mindeststichprobenumfang für
ein bestimmtes Konfidenzniveau (1 − α) und bestimmter Breite des Konfidenzintervalls
von großer Relevanz.
a. Erläutern Sie anhand eines selbstgewählten Beispiels, warum dies der Fall ist.
b. X sei normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ und bekannter Varianz
σ 2 . Stellen Sie das allgemeine Konfidenzintervall für µ auf (Konfidenzniveau 1−α).
Wie groß muss n gewählt werden, wenn das Konfidenzintervall 2b breit sein soll?
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c. X sei normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ 2 . Stellen Sie das allgemeine Konfidenzintervall für µ auf (Konfidenzniveau
1 − α). Können Sie vorgehen wie in Aufgabenteil b)? Wie lautet die Formel für
den Mindeststichprobenumfang in diesem Fall?
Aufgabe 4
Auf einer Maschine werden Werkstücke hergestellt, deren Länge einer unbekannten Verteilung folgt. Eine Zufallsstichprobe von 80 Stück ergab einen Mittelwert von 38,98 mm
und eine Stichprobenvarianz von 7, 6 mm2 . Berechnen Sie die Grenzen des konkreten
Konfidenzintervalls für den unbekannten Erwartungswert der Fertigung (1 − α = 0.95).
Aufgabe 5
Ein Statistiker sieht sich in der Zeit vom 2.2.2013 bis zum 19.2.2013 alle Folgen der
Show Wer wird Millionär an und notiert sich am Ende der Sendung den realisierten
Gesamtgewinn des Tages. Es ergaben sich folgende Werte (in Tausend Euro):
34 17 96 33 189 282 33 66 64.
Wir gehen davon aus, dass die Gesamtgewinne normalverteilt sind.
a. Bestimmen Sie für den unbekannten Parameter µ dieser Normalverteilung ein
Konfidenzintervall, das µ mit einer Wahrscheinlichkeit 0.95 überdeckt.
b. Wie viele Folgen Wer wird Millionär muss der Statistiker ansehen, um den erwarteten Gesamtgewinn so genau zu schätzen, dass er diesen, mit Konfidenzniveau
95%, in einem Intervall der Breite 50 Tausend Euro vermuten kann? Verwenden
Sie hierbei die korrigierte Stichprobenvarianz als Punktschätzung für die Varianz!
Aufgabe 6
Ein Versandhaus ermittelt aufgrund einer einfachen Zufallsauswahl vom Umfang n = 60
aus den innerhalb eines Monats eingegangenen Bestellungen einen Anteil in Höhe von
25 Prozent für Bestellungen mit einem Warenwert von über 200 Euro.
a. Bestimmen Sie die Grenzen des konkreten Konfidenzintervalls für die Wahrscheinlichkeit einer Bestellungen mit einem Warenwert von über 200 Euro (das Konfidenzniveau sei 1 − α = 0.9).
b. Geben Sie das entsprechende Konfidenzintervall für die Anzahl der eingegangenen
Bestellungen an, wenn insgesamt 10000 Bestellungen eintreffen!
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c. Wie wirkt sich – unter sonst gleichbleibenden Voraussetzungen – eine Erhöhung
des Konfidenzniveaus auf die Breite des Konfidenzintervalls aus?
d. Wie groß müsste die Stichprobe sein, um ein Konfidenzintervall von 95% für die
wahre Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, so dass die Breite des Intervalls 0,1 beträgt (2b=0,1)? Verwenden Sie hierbei den Punktschätzer für π aus Aufgabenteil
a)!
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