1) Die Körpergröße von Männern sei normalverteilt mit a) b) c) µ = 170cm und σ = 10cm Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann zwischen 160 cm und 185 cm groß ist? 33% der Männer sind größer als ..... ? Wie lautet ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall, in dem die Körpergröße der Männer mit 92% Wahrscheinlichkeit liegt? 2) 85% der Äpfel, die ein Obstbauer erntet, sind zwischen 120 g und 180 g schwer. Berechne unter den Annahme, dass das Gewicht der Äpfel normalverteilt ist und das Intervall [120;180] symmetrisch zum Erwartungswert liegt, die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ausgewählter Apfel schwerer als 155 g ist! 3) Eine Maschine füllt 1-Liter-Flaschen mit einer Standardabweichung von σ = 0,06 Liter. Dabei soll 0,98 Liter als eine untere Toleranzgrenze in nicht mehr als 4% aller Füllungen unterschritten werden. Auf welchen Mittelwert µ muss die Maschine dazu eingestellt werden? In wie vielen Flaschen ist dann mehr als 1 Liter enthalten? 4) In einer Molkerei werden 1-Liter-Milchpackungen abgefüllt. Dabei wird eine Füllmenge von 960 ml bis 1050 ml toleriert. Aus statistischen Untersuchungen weiß man, dass in 2,5% der Fälle die tolerierte Füllmenge unterschritten und in 3,6% der Fälle überschritten wird. Wie viel Prozent der Packungen enthalten zwischen 0,98 und 1,02 Liter Milch? 5) Für eine Glühbirne wird bei einer Standardabweichung von 50 h eine durchschnittliche Brenndauer von 800 Stunden angegeben. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine derartige Glühbirne a) eine Lebensdauer von mindestens 900 Stunden hat b) nach nur 675-stündigem Gebrauch bereits kaputt ist c) zwischen 770 und 840 Stunden leuchtet? b) Berechne jenes zum Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Brennbauer mit a) 80% b) 90% c) 99% Wahrscheinlichkeit liegt! 6) 2% der erwachsenen Bevölkerung eines gewissen Landes sind kleiner als 1,5 Meter, während 3% größer als 2 Meter sind. Nimm an, dass die Größe normalverteilt ist und berechne, wie viel Prozent der Bevölkerung zwischen 1,7 Meter und 1,8 Meter groß sind! 7) Bei einem Intelligenztest erreichten 20% der Teilnehmer mindestens 515 Punkte, während 10% der Teilnehmer sogar mindestens 526 Punkte erreichten. Wie viel Punkte wurden von 2/3 aller Teilnehmer mindestens erreicht? Nimm dazu an, dass die erreichten Punkte normalverteilt sind! Wie groß sind µ und σ ? Anleitung Bsp.4) (und ähnlich Bsp.6+7) I) P(X ≤ 960) = P(Z ≤ 960 −µ 960 −µ 960 −µ )= = 0,25 σ σ σ 1050 −µ 1050 −µ )=1= 0,036 σ σ Φ( II) P(X ≥ 1050) = P(Z ≥ ) Φ( 2 Gleichungen für µ und σ … ) =-1,96 960- µ =-1,28 σ Φ( 1050σ −µ ) =0,964 1050 −µ σ =1,8 1050- µ =1,8 σ Lösungen: 1a) 77,45% b) 174,3cm c) [ 152,5 , 187.5 ] 2) 40,5% 3) 1,085 Liter ; 92,22% 4)57,62% 5a) 2,28% ; 0,62% ; 51,38% b) [ 736 ; 864 ] ; [ 718 , 882 ] ; [671 ; 929 ] 6) µ ≈1,76m , σ ≈0,127m , 30,6% 7) µ ≈493 , σ ≈25 , 482 Punkte Übungsbeispiele zur Normalverteilung Seite 1 Version 11.3.2006