Übungsblatt 7

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Grundzüge der Statistik B
SS 2012
Prof. Dr. Alois Kneip / Oualid Bada
Übungsblatt 7
Aufgabe 1 :
Es bezeichne X eine N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable.
1. Drücken Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten jeweils mit Hilfe der Verteilungsfunktion
der Standardnormalverteilung aus:
P (X < x);
P (|X − µ| ≤ c);
P (X > x);
P (|X − µ| > c).
Hierbei bezeichnen x und c reelle Zahlen.
2. Sei nun µ = 3 und σ 2 = 2. Berechnen Sie (4 Dezimalstellen) die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P (X < 4);
P (X > 3.5);
P (|X − 3| ≤ 0.5);
P (|X − 3| > 0.8).
Aufgabe 2 :
Seien X1 , X2 , . . . , Xn unabhängig und jeweils normalverteilt mit Mittelwert µ und Varianz σ 2 .
1. Wie ist X̄ = n1 (X1 + X2 + · · · + Xn ) verteilt?
2. Wie ist
√ X̄ − µ
n
σ
verteilt?
3. Wichtige p−Quantile der Standardnormalverteilung sind in folgender Tabelle gegeben:
p
75%
90%
95%
97.5%
99%
Zp
0.67
1.28
1.64
1.96
2.33
Berechnen Sie an Hand dieser Tabelle die 1, 2.5, 5, 10, 25, 50, 75, 90, 95, 97.5 und 99% Quantile der Verteilung von X für n = 5, µ = 1 und σ 2 = 25.
Aufgabe 3 :
Ein Getränkehersteller stellt Erfrischungsgetränke her, die in 0.7-Liter Flaschen verkauft werden.
Es ist bekannt, dass die Einfüllmenge normalverteilt ist mit µ = 0.7 und σ 2 = (0.01)2 .
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Grundzüge der Statistik B
SS 2012
Prof. Dr. Alois Kneip / Oualid Bada
1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 0.7 Liter in eine Flasche
eingefüllt werden.
Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwischen 0.67 und 0.73 Liter in eine Flasche
gefüllt werden?
2. Bestimmen Sie ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall, in dem die Füllmenge
einer Flasche zu 98% liegt.
Aufgabe 4 :
In einer Brauerei werden die Flaschen vor dem Wiederauüllen gereinigt. Die Arbeitszeit X
(in Sekunden) für das Reinigen sei annähernd normalverteilt mit µX = 120 und σX = 15. Die
Arbeitszeit Y (in Sekunden) für das Füllen sei annähernd normalverteilt mit µY = 54 und
σY = 5. X und Y seien unabhängig. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Reinigen und
Füllen einer Flasche zusammen
1. nicht länger als 3 Minuten dauert?
2. mehr als 3,5 Minuten dauert?
3. zwischen 2 und 5 Minuten dauert?
Aufgabe 5 :
Die Füllmenge X (in ml) eines Getränkeautomaten kann in guter Näherung als normalverteilt
mit µ = 500 und σ = 6 approximiert werden.
1. Wieviel Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Füllmenge um höchstens ± 10 ml
vom Sollwert 500 ml abweichen darf?
2. Wie muss man die Toleranzgrenzen 500 − c und 500 + c wählen, damit man höchstens 4%
Ausschuss erhält?
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