Ein paar einfache Übungsaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein paar einfache Übungsaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. In einer Urne sind 22 Kugeln, davon 12 rot und 10 weiß. Es werden nacheinander Kugeln entnommen, ohne sie
zurückzulegen.
(a) A sei das Ereignis: ’Die zweite Kugel ist rot’. B sei das Ereignis: ’Die erste Kugel ist weiß’. Berechnen Sie
P (A|B) .
(b) Berechnen Sie P (A) .
(c) Sind A, B unabhängig?
(d) Berechnen Sie P (B|A) .
2. Betrachten Sie das Experiment: Es wird mit den sechs (paarweise verschiedenen) Buchstaben a, b, c, d, e, f ein
Zufallswort der Länge 5 gebildet (an jeder Stelle kann jeder Buchstabe stehen).
(a) Beschreiben Sie Ω passend dazu, so dass sich ein Laplace-Raum ergibt, und berechnen Sie |Ω| .
(b) Sei nun A das folgende Ereignis: Im gezogenen Wort kommt ein Buchstabe genau drei mal und ein anderer
Buchstabe genau zwei mal vor. Berechnen Sie P (A) .
(c) Können Sie ein gleichwertiges Experiment beschreiben, das mit einem gewöhnlichen symmetrischen Würfel
ausgeführt wird?
3. Der Erwartungswert µ (X) soll geschätzt werden anhand einer Stichprobe von n unabhängig genommenen X−
Werten.
(a) Welches zweiseitige 95%− Vertrauensintervall können Sie für µ (X) (naherungsweise mit Normalverteilung)
angeben, wenn Sie haben: n = 400, x(400) = 1000, s (X) = 100 (Streuungsschätzwert!) ? Zusatzfrage:
Warum ist es hier einigermaßen in Ordnung, nicht mit t− Verteilung zu arbeiten?
(b) Wie groß hätte man n zu wählen, damit der absolute Fehler der Schätzung von µ (X) mit Wahrscheinlichkeit
0.99 unter 10 liegt, wenn tatsächlich σ (X) = 100?
4. Es sei die Zufallsvariable X normalverteilt mit µ (X) = 200 und σ (X) = 10.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt ein X− Wert über 210? (Bestimmen Sie diese Wahrscheinlichkeit so
genau, wie Ihre Tabelle das hergibt.)
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen bei 100 zufällig (und unabhängig) genommenen X− Werten höchstens
siebzehn über 210? Schreiben Sie einen exakten Ausdruck für diese Wahrscheinlichkeit auf, und nähern Sie
deren Wert mittels der Normalverteilung unter Verwendung der Stetigkeitskorrektur.
5. In einem gefährlichen Produktionsprozess einer Fabrik sei die Zahl der Unfälle pro Jahr λ − P oisson − verteilt.
Wie groß darf λ höchstens sein, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Lauf von 20 Jahren kein Unfall
passiert, mindestens 0.9998 beträgt?
6. ∗ ) Es sei P (A) = 0, 1. Es sei X|A normalverteilt
mit µ X|A = µ (X|A) = 120 und σ := σ X|A > 0 beliebig.
Weiter sei X|A ebenfalls normalverteilt mit µ X|A = 100 und derselben Streuung σ (wir wollen nur diesen
einfacheren Spezialfall behandeln).
Man möchte nun eine Zahl c zwischen 100 und 120 derart bestimmen, dass die Wahrscheinlichkeit einer Fehldiagnose bei folgendem Entscheidungsverfahren minimalisiert wird: Wenn X− Wert ≤ c, entscheide auf Zugehörigkeit zu A, sonst (also bei X− Wert > c) auf Zugehörigkeit zu A. Setzen Sie das Problem an, und gehen Sie so
weit wie möglich, möglichst so weit, dass Sie die Abhängigkeit der optimalen Zahl c von P (A) voll erkennen.
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