(8.2.2012) Hinweis: Als Hilfsmittel sind nur Taschenre

Klausur Wahrscheinlichkeitstheorie für Informatiker und Grundschullehrer
(8.2.2012)
Hinweis: Als Hilfsmittel sind nur Taschenrechner zugelassen. Die Lösungsschritte sind deutlich darzulegen. Bei alleiniger Ergebnisangabe o.ä. kann Punktabzug erfolgen.
1. Bei der Abfüllung von Tüten mit Gummibärchen stehen rote, grüne, gelbe
und weiße Gummibärchen zur Verfügung, wobei bei jeder Tüte jede der
Farben verwendet werden darf, aber nicht verwendet werden muß. Wieviel unterschiedliche Farbzusammenstellungen sind dann möglich? (Bemerkung: Der Fall, daß die Tüte leer bleibt, soll ausgeschlossen sein.)
2. Sechs Personen betreten im Erdgeschoß eines Gebäudes einen Fahrstuhl,
wobei es auf acht Etagen jeweils eine Ausstiegsmöglichkeit gibt. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, daß
a) alle Personen auf der gleichen Etage aussteigen,
b) alle Personen auf verschiedenen Etagen aussteigen?
3. Von zwei zufälligen Ereignissen A und B seien die folgenden Wahrscheinlichkeiten bekannt: P (A \ B) = 14 , P (B \ A) = 31 und P (A ∪ B) = 23 .
a) Berechnen Sie P (A ∩ B), P (A) und P (A).
b) Sind A und B stochastisch unabhängig?
4. Eine Zufallsgröße X nehme genau drei Werte an, und zwar 0, 1 sowie einen
zunächst unbekannten Wert x. Es gelte P (X = 0) = 51 und P (X = 1) = 52 .
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X den Wert x an?
b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße X in
Abhängigkeit von x.
c) Wie groß müßte der Wert x sein, damit die Varianz von X minimal
wird?
5. Es sei bekannt, daß ein Hühnerei mit Wahrscheinlichkeit 0,01 zwei Dotter enthält. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß von 200 zufällig
ausgewählten Eiern höchstens eines zwei Dotter enthält,
a) exakt,
b) näherungsweise mit Hilfe der Poisson-Verteilung.
6. Die Halbwertszeit eines Poloniumatoms beträgt 140 Tage, d.h., mit Wahrscheinlichkeit 12 zerfällt ein solches Atom innerhalb von 140 Tagen. Die
Zerfallszeit eines Poloniumatoms werde als exponentialverteilte Zufallsgröße modelliert.
a) Bestimmen Sie den Parameter dieser Exponentialverteilung.
b) Nach welcher Zeit ist ein Poloniumatom mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit zerfallen?
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