¨Ubungsblatt 2 Beschreibende Statistik und

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
SS 2005
Übungsblatt 2
Beschreibende Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabetermin: Mittwoch, 13. April 05, bzw. Freitag, 15. April 05, bei der Semesterassistentin oder beim Semesterassistenten in der jeweiligen Übungsstunde.
Streuungsmasse
Aufgabe 17 (3 Punkte):
Berechnen Sie Variationsbreite und Interdezilbereich, sowie die empirische Varianz und
Standardabweichung von folgenden Daten:
218, 231, 210, 104, 15, 150, 297, 240, 120, 512.
Aufgabe 18 (3 Punkte):
An einer Prüfung erzielten die 40 TeilnehmerInnen die folgenden Noten:
Note
1 2 3 4 5 6
Anzahl 0 5 6 13 9 7
Berechnen Sie den Interdezilbereich, die empirische Varianz und die Standardabweichung.
Aufgabe 19 (3 Punkte):
100 Ostereier wurden in Gewichtsklassen eingeteilt:
Gewicht in g (46, 50] (50, 54] (54, 58] (58, 62] (62, 66] (66, 70]
Anzahl
6
15
32
25
14
8
Berechnen Sie die empirische Varianz und die Standardabweichung.
Verschiedene anschauliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe
Aufgabe 20 (2 Punkte):
Ein Würfel ist verfälscht. Ein Versuch mit 600 Würfen ergab folgende Häufigkeiten für
die Augenzahlen:
Augenzahl 1 2
3
4
5
6
Anzahl
40 60 120 110 130 140
Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfeln Sie a) eine gerade Zahl, b) eine Zahl grösser als
3? Welche Art der Wahrscheinlichkeit haben Sie verwendet?
Aufgabe 21 (3 Punkte):
10 SchülerInnen treten im Final der ersten Schweizerischen Wahrscheinlichkeitsolympiade
an. Ihre Gewinnchancen werden aufgrund der Leistungen in den Ausscheidungen wie folgt
angenommen:
1
Amélie (Genève)
Beatrice (Chur)
Christine (Vevey)
Daniela (Greifensee)
Erwin (Frauenfeld)
18%
17%
12%
10%
9%
Frédéric (Delémont)
Giorgio (Bodio)
Hanna (Winterthur)
Ines (Wettingen)
Jacques (Neuchâtel)
9%
8%
6%
6%
5%
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt a) ein Mädchen, b) eine Person aus der deutschen Schweiz, c) eine Person aus dem Kanton Zürich oder einem angrenzenden Kanton?
Welcher Wahrscheinlichkeitsbegriff wird hier verwendet?
Aufgabe 22 (4 Punkte):
An einer Mathematikprüfung konnten maximal 60 Punkte erreicht werden. Dabei erzielten
die 20 TeilnehmerInnen folgende Punktzahlen:
34, 43, 30, 12, 38, 54, 31, 26, 38, 40, 18, 26, 36, 51, 24, 46, 37, 56, 39, 48.
Für 30-35 Punkte gibt es eine Vier, für 53 oder mehr Punkte eine Sechs. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit hat eine beliebig ausgewählte Person a) eine Sechs, b) eine genügende
Note, c) eine Punktzahl unter dem Durchschnitt, d) eine Punktzahl über dem Median?
(Überrascht das Resultat von d)?) Mit welchem Wahrscheinlichkeitsbegriff arbeiten Sie
hier?
Aufgabe 23 (4 Punkte):
Wir würfeln gleichzeitig mit zwei (fairen) Würfeln. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass a) die beiden Augenzahlen sich genau um 1 unterscheiden, b) das Produkt
der beiden Augenzahlen zwischen 10 und 12 liegt (Grenzen eingeschlossen)? c) Aus den
Augenzahlen (als Ziffern betrachtet) wird eine zweistellige Zahl gebildet und zwar wird,
wenn sie verschieden sind, die grössere vor die kleinere gesetzt. (Wenn beide gleich sind,
kommt es auf die Reihenfolge natürlich nicht an.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die
so gebildete Zahl durch 6 teilbar? Welcher Wahrscheinlichkeitsbegriff wurde verwendet?
Aufgabe 24 (5 Punkte):
Auf einer Ebene sind parallele Geraden gezeichnet, die abwechslungsweise den Abstand
2 cm und 8 cm haben. Eine Münze vom Durchmesser 3 cm wird zufällig auf die Ebene
geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie auf a) zwei, b) genau einer,
c) keiner Geraden liegt? Welchen Wahrscheinlichkeitsbegriff brauchen Sie?
Aufgabe 25 ◦ :
Ein Stäbchen der Länge 10 cm wird an einer zufällig ausgewählten Stelle x (mit 0 ≤ x ≤
10) markiert und dort in zwei Teile getrennt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit unterscheiden
sich die beiden Teile um höchstens 1 cm? Welcher Wahrscheinlichkeitsbegriff ist hier am
Platz?
Ergebnisse und Ereignisse
Aufgabe 26 ◦ :
Wir untersuchen alle StudentInnen an der Uni Zürich und betrachten die folgenden Ereignisse: A: “Die Person ist weiblich”, B: “Die Person studiert Biologie”, C: “Die Person
wohnt in Zürich”. Beschreiben Sie in Worten die Ereignisse a) A, b) (A ∩ B) ∪ C, c)
(B ∪ C) \ (B ∩ C), d) (B \ C) ∪ (C \ B). Was lässt sich zu c) und d) sagen?
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Aufgabe 27 (4 Punkte):
Eine Münze wird viermal geworfen. Das Resultat ist jeweils Kopf (K) oder Zahl (Z).
a) Geben Sie den Ergebnisraum Ω an (Sie brauchen nicht unbedingt alle Elemente explizit anzuschreiben). b) Geben Sie die Ereignisse D: “Beim ersten Wurf erscheint Kopf”,
E: “Kopf erscheint genau zweimal” und F : “Kopf und Zahl wechseln sich ab” an. c)
Bestimmen Sie D ∩ E, D ∩ F und E ∩ F .
Aufgabe 28 (4 Punkte):
Die natürlichen Zahlen von 1 bis 30 werden auf je ein Kärtchen geschrieben. Die Kärtchen
werden in eine Schachtel gelegt. Das Zufallsereignis besteht darin, ein Kärtchen zu ziehen
und seine Nummer zu verkünden. Geben Sie den Ergebnisraum Ω an und beschreiben Sie
die folgenden Ereignisse als Teilmengen von Ω. Es wird gezogen: a) Eine durch 5 teilbare
Zahl, b) eine Zahl, die bei der Division durch 7 den Rest 2 gibt, c) eine Primzahl, d) eine
Lösung der Gleichung x3 − 9x2 − 12x + 20 = 0.
Aufgabe 29 (5 Punkte):
Zwei reelle Zahlen x und y mit 0 ≤ x ≤ π/2 und 0 ≤ y ≤ 1 werden zufällig gewählt.
a) Stellen Sie die folgenden Ereignisse graphisch dar:
Ω,
G = {(x, y) ∈ Ω | y > x3 },
H = {(x, y) ∈ Ω | y ≤ cos x} .
b) Berechnen Sie die geometrisch interpretierte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses G ∩ H.
Verwenden Sie für die Berechnung des Schnittpunktes der beiden Kurven das Verfahren von Newton. Es genügt, nach Wahl eines vernünftigen Startwerts x0 zwei Schritte
durchzuführen, d.h. x1 und x2 zu berechnen.
GeTEXt am 4. April 2005
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