Aufgaben zu Kapitel 11, diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1

Aufgaben zu Kapitel 11, diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1) Bestimmen Sie für das Würfeln mit zwei Würfeln die Wahrscheinlichkeitsverteilung
für das Ereignis X: „Summe der Augenzahlen der beiden Würfel“ den Mittelwert, die
Varianz und die Standardabweichung von X.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Resultat um höchstens eine
Standardabweichung vom Mittelwert abweicht?
2) Auf dem Weg zur Universität erreicht ein Student beim Umsteigen seinen Bus im Mittel nur
in einem von fünf Fällen ohne Wartezeit.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 10 Fällen den Bus ohne Wartezeit
- kein Mal,
- 1 Mal,
- 2 Mal
zu erreichen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Student mindestens 8 Mal auf den Bus
warten muß?
c) Geben Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Erfolgsfälle (d.h. Umsteigen ohne
Wartezeit) an.
3) Bei der Abfüllung eines Medikamentes wird (im Mittel!) in einem von 1000 Fällen der
vorgeschriebene Toleranzbereich für die Füllmenge nicht eingehalten.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einer Stichprobe mit dem Umfang
n = 10 die Anzahl der nicht normgerecht gefüllten Flaschen gleich 0, 1 oder 2 ist
a) aus der Binomialverteilung,
b) aus der Poissonverteilung mit λ = n*p , p = 0,001.
c) Was stellen Sie beim Vergleich der Resultate für a) und b) fest?
Aufgaben zu Kapitel 11, stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1) Gegeben sei die Funktion
R12 (x − x ) , für 0 ≤ x ≤ 1
f (x ) = S
T0 sonst, d. h. für x < 0 und x > 1
2
3
a) Kann man diese Funktion als Wahrscheinlichkeitsdichte auffassen?
Wenn ja, wie sieht die zugehörige Verteilungsfunktion aus?
b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X, die Varianz und die
Standardabweichung.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(| X - µ | ≤ σ ) ?
2) Wie groß sind für die Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeiten
P(| X - µ | ≤ m σ ) , mit m =1, 2, 3 und wie interpretiert man diese?
3) Berechnen Sie für die Exponentialverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
⎧ λ exp( − λ x ) : x ≥ 0 ( λ > 0 )
f( x ) = ⎨
⎩0: x < 0
das Normierungsintegral, den arithmetischen Mittelwert, die Varianz und die
Standardabweichung.
4) Der Zuschnitt von Stahlträgern der Länge 8400 mm (Sollmaß) erfolgt mit einer
Standardabweichung von 2 mm in der Trägerlänge X. Die Istmaße sind
normalverteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
a) die Istmaße zwischen 8398 mm und 8404 liegen?
b) die Istmaße den Wert 8395 mm nicht unterschreiten?
c) die Abweichung der Istmaße vom Sollwert mindestens 5 mm beträgt?