Beschreibende STATISTIK und WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE

BESCHREIBENDE STATISTIK und WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE
Begriffe
Zufallsvariable X: ordnet jedem Ausfall eiens Zufallversuchs eine reelle Zahl zu
Bsp: Augenzahl, Augensumme, Anzahl der blauen Kugeln, Anzahl der Treffer
Häufigkeitsverteilung: Jedem Wert ai der ZV X wird eine absolute Häufigkeit Hn(ai) bzw. eine
relative Häufigkeit hn(ai)zugeordnet. Dadurch erhält man eine Häufigkeitsverteilung die in
deiner Tabelle oder einem Stabdiagramm dargestellt werden kann.
Je größer die Versuchsserie nähert sich die relative Häufigkeit der
Wahrscheinlichkeit P(X=ai)
Gesetz der großen Zahlen: Wird eine Versuchsserie zu je n Versuchen oft durchgeführt, so
weichen die Häufigkeitsverteilungen nur wenig voneinander ab und schwanken um die
entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Mittelwert und empirische Varianz einer Häufigkeitsverteilung:
Mittelwert x einer Liste:
x =
a1Hn (a1 )  a2 Hn (a2 )  a 3 Hn (a3 )  a4 Hn (a4 ) .....an Hn (an )
n
 n1
n
n
i 1
i 1
 ai  Hn (ai )   ai  hn (ai )
Empirische Varianz s² einer Liste:
n
V = (s² = )
 (a1  x)²  hn (ai )
i 1
Empirische Standardabweichung s einer Liste: s =
V
Erwartungswert und Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:
n
 = E(X) =
 ai  pi
Er ist näherungsweise gleich dem Mittelwert einer sehr langen Liste.
i 1
n
V(X) =

i 1
=
n
(a1   )²  pi =
 ai2  pi
 2
i 1
V(X) heißt Standardabweichung
Solche Daten niemals händisch berechnen – verwende die STAT – Funktionen am TR!
Statt n verwende besser n-1, um die Abweichung für n=1 auszuschließen.
Zusammenfassung
Begriff der beschreibenden Statistik
Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie
Relative Häufigkeit
Wahrscheinlichkeit
Variable (Merkmal)
Zufallsvariable
Häufigkeitsverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Mittelwert
Erwartungswert
Empirische Varianz
Varianz
Empirische Standardabweichung
Standardabweichung
BINOMIALVERTEILUNG:
Bei einem Zufallsversuch tritt ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p ein.
Der Versuch wird n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt.
n
P(X=k) = pk  (1  p)n k   
k 
für 0  k  n
Die ZV X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p.
Erwartungswert einer binomialverteilten ZV:
 = E(X) = n . p
V(X) = n . p . (1-p) = npq
 n  p  q

NORMALVERTEILUNG:
ZV nehmen alle Werte eines Intervalls an
 “Stetige Zufallsvariable“
Diagramm = Gauss’sche Glockenkurve
(x)  1
 2
e
 21 (
x 
)

Gesamtfläche  (X) unter Kurve = 1.
Die ZV X ist normalverteilt mit den Parametern  und .
2
standardisierte Glockenkurve:  = 0;  = 1 x = + z
z=
x


(z) 
1
2
e
Annäherung der BINOMIALVERTEILUNG durch die NORMALVERTEILUNG:
Faustregel: wenn  > 3 ist, dann kann die BV durch die NV angenähert werden.
Genauer wird diese Näherung durch die sogenannte Stetigkeitskorrektur:
Untere Grenze minus 0,5 Obere Grenze plus 0,5
 z2