Übungsblatt 9

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
SS 2005
Übungsblatt 9
Beurteilende Statistik
Abgabetermin: Mittwoch, 1. Juni 05, bzw. Freitag, 3. Juni 05, bei der Semesterassistentin
oder beim Semesterassistenten in der jeweiligen Übungsstunde.
Grundbegriffe der beurteilenden Statistik
Aufgabe 105 (3 Punkte):
Eine Konsumentenorganisation will prüfen, wie lange die Vulkane (Feuerwerk) zweier
Hersteller A und B im Mittel brennen. Wie kann dieser Vorgang in der Sprache der
Wahrscheinlichkeitsrechnung formuliert werden? Geben Sie passende Ergebnisräume und
passende Zufallsgrössen an. Beschreiben Sie mit Begriffen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, was man über diese Zufallsgrössen wissen möchte.
Schätzen von Parametern
Aufgabe 106 (3 Punkte):
Eine Untersuchung ergab folgende Daten:
10 13 16 17 19 23 24
Messwert
absolute Häufigkeit 2 4 7 8 6 2 1
Schätzen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der zugehörigen Grundgesamtheit.
Aufgabe 107 (4 Punkte):
Von einer Grasart wurde anhand einer Stichprobe die Länge des Halms (in mm) bestimmt:
212, 200, 198, 215, 205, 203, 199, 213, 205, 210 .
a) Schätzen Sie Erwartungswert und Varianz für die Grundgesamtheit.
b) Geben Sie den Standardfehler der Schätzung des Erwartungswerts an (standard error
of the mean, SEM).
c) Wir nehmen an, die Grundgesamtheit sei normalverteilt. Wieviel Prozent der Halme
sind dann länger als 202 mm?
Aufgabe 108 ◦ :
Eine Stichprobe von 200 Raupen einer bestimmten Art ergab ein mittleres Gewicht von
254.8 mg mit einem Standardfehler von 2.8 mg.
a) Geben Sie den Ergebnisraum Ω und die Zufallsgrösse X : Ω → R an, welche die
zugehörige Grundgesamtheit beschreibt.
b) Wie gross muss man den Umfang der Stichprobe wählen, um den Standardfehler auf
0.7 mg zu verkleinern? Dabei wird angenommen, dass die empirische Standardabweichung
s bei beiden Stichproben die gleiche ist.
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Aufgabe 109 (4 Punkte):
Das Gewicht von zweiwöchigen Küken sei normalverteilt mit Erwartungswert 104 g und
Varianz 40 g2 . Es wird nun von a) 25, b) 250 Küken das Durchschnittsgewicht bestimmt.
Bestimmen Sie in den Fällen a) und b) jeweils Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Durchschnitts X̄.
Die t-Verteilung
Aufgabe 110 (4 Punkte):
Die Zufallsgrösse T sei t-verteilt mit Freiheitsgrad ν = 5. Bestimmen Sie mit Hilfe einer
Tabelle die Zahl t so, dass a) P[T ≤ t] = 0.9, b) P[0 ≤ T ≤ t] = 0.49 ist. Stellen Sie diese
Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Dichtefunktion graphisch dar.
Konfidenzintervalle
Aufgabe 111 ◦ :
Eine Stichprobe von 100 Geburten ergab ein mittleres Geburtsgewicht von 3.38 kg mit
einer empirischen Standardabweichung von 0.45 kg. Geben Sie das Vertrauensintervall für
das mittlere Geburtsgewicht an a) mit Q = 90%, b) mit Q = 99.9%.
Aufgabe 112 (4 Punkte):
Von einigen Exemplaren einer Grasart wurde die Länge des Halms gemessen. Es ergaben
sich die folgenden Werte (in mm):
210, 214, 201, 216, 201, 212, 196, 204, 200, 206 .
Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für die mittlere Länge der Halme dieser Art a) mit
Q = 95% und b) mit Q = 99%.
Aufgabe 113 (4 Punkte):
Die Bestimmung des Durchmessers von Mohnblüten ergab einen Mittelwert von 64 mm
mit einer empirischen Varianz von 49 mm2 . Geben Sie das 95%-Vertrauensintervall für
den mittleren Durchmesser an für den Fall, wo a) 100, bzw. b) 1000 Blüten gemessen
wurden.
Repetitionsaufgaben
Aufgabe 114 (2 Punkte):
Gegeben sind die sieben Werte 12, 7, 3, 2, 11, 5, n, wobei n eine natürliche Zahl ist. Für
welche Werte von n ist der Median der sieben Werte gerade gleich n?
Aufgabe 115 (2 Punkte):
Aus der Menge der natürlichen Zahlen n mit 1 ≤ n ≤ 10 wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Es sei E (bzw. F ) das Ereignis die ausgewählte Zahl ist durch 2 (bzw. 3) teil”
bar“. Sind E und F abhängig oder unabhängig? Geben Sie eine rechnerische Begründung
für Ihre Antwort.
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Aufgabe 116 (2 Punkte):
In einer Vase hat es 5 weisse und 4 rote Kugeln. Sie ziehen zufällig (und ohne Zurücklegen)
zwei Kugeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden gezogenen Kugeln dieselbe
Farbe?
Aufgabe 117 (2 Punkte):
Im (völlig überfüllten) Malawisee-Aquarium im Zoo Zürch tummeln sich 20 männliche
und 60 weibliche gelbe, sowie 30 männliche und 100 weibliche blaue PseudotropheusBuntbarsche.
Mit M, W, G, B werden die Ereignisse männlich“, weiblich “, gelb“, blau“ bezeichnet.
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”
”
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten a) P[M ∩ B], b) P[M |B], c) P[B|M ].
GeTEXt am 30. Mai 2005
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