10. ¨Ubung zur Mathematik II für Studierende der Biologie
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Dr. S. Wiesendorf
Sommersemester 2017
10. Übung zur Mathematik II für
Studierende der Biologie
(Abgabe der schriftlichen Aufgaben in der Übungsstunde am 10./11. Juli)
Aufgabe 1. (10 Punkte, schriftlich) Ein Mikroorganismus vermehrt sich durch
Teilung. Seine Lebensdauer, d.h. die Zeit von seiner Entstehung bis zu seiner Teilung
sei exponentialverteilt mit unbekanntem Parameter λ > 0, d.h. die Dichte von X
ist gegeben durch
(
0,
x < 0,
f (x) =
−λx
λe
, x ≥ 0.
Bestimmen Sie analog zum Beispiel der Vorlesung einen geeigneten Schätzwert für
λ mithilfe der Maximum-Likelihood-Schätzung.
Aufgabe 2. (10 Punkte, schriftlich) Es bezeichne X die Größe der Studierenden
in der Vorlesung (in cm). Nehmen Sie an, dass X ∼ N (µ, σ 2 ) normalverteilt ist mit
einer Varianz von σ 2 = 2025. Für das arithmetische Mittel von X konnten Sie
mithilfe einer Stichprobe von n = 65 Personen den Wert x̄ = 170 bestimmen.
(a) Bestimmen Sie zum Konfidenzniveau β = 1 − α = 0.95 ein konkretes Konfidenzintervall für den Erwartungswert von X.
(b) Wie groß müsste Ihre Stichprobe sein, damit die Länge des Konfidenzintervalls höchstens 20 cm beträgt?
Aufgabe 3. (10 Punkte, schriftlich) Die Sproßhöhe X (in mm) einer Pflanze sei
N (µ, 100)-verteilt. Für den Erwartungswert von X wurde mithilfe einer Stichprobe
x1 , . . . , x40 der Schätzwert x̄ = 300 bestimmt. Geben Sie ohne Verwendung der
Formel aus der Vorlesung ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ zum
Niveau β = 1 − α = 0.95 an. Gehen Sie dabei wie folgt vor.
(a) Die Summe unabhängiger, normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt, insbesondere ist
Pn
(1/n i=1 Xi ) − µ
√
∼ N (0, 1),
Y =
σ/ n
wobei in unserem Fall n = 40 und σ 2 = 100 ist. Finden Sie ein um Null
symmetrisches Intervall, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass Y in diesem
Bereich liegt 95% beträgt, d.h. finden Sie eine Zahl a, so dass gilt
P (−a ≤ Y ≤ a) = 0.95.
(b) Setzen Sie für Y die in (a) angegebene Darstellung ein und lösen Sie die
Ungleichung
−a ≤ Y ≤ a
so auf, dass der unbekannte Erwartungswert µ alleine in der Mitte steht.
(c) Geben
PnSie das gesuchte Konfidenzintervall an. Nutzen Sie dabei aus, dass
1/n i=1 Xi gerade den Wert x̄ annimmt und begründen Sie, warum es in
Teil (a) sinnvoll ist, das Intervall symmetrisch um Null zu wählen.
Aufgabe 4. (mündlich)
(a) Es sei X ∼ Bn,p binomialverteilt mit unbekanntem Parameter p. Wenn X
den Wert k annimmt, haben wir nach der Maximum-Likelihood-Methode
als Schätzwert für p den Wert zu wählen, für den die Wahrscheinlichkeit
P (X = k) maximal wird. Bestimmen Sie diesen Schätzwert sowie die zugehörige Schätzfunktion.
(b) Wir betrachten nun das Zufallsexperiment des Münzwurfes. Dabei sei jetzt
X : Ω → {0, 1} die Zufallsvariable, die den Wert 1 annimmt, wenn die
Münze Kopf“ zeigt und der zu schätzende Parameter sei die Wahrschein”
lichkeit p ∈ (0, 1), dass die Münze Kopf“ zeigt. Nach einer Messung liege
”
uns das folgende Stichprobenergebnis vor
x1
1
x2
0
x3
0
x4
1
x5
1
x6
0
x7
0
x8
1
x9
1
x10
1
Die Wahrscheinlichkeit dieses Stichprobenergebnisses (in Abhängigkeit von
p) wird beschrieben durch die Likelihood-Funktion L(p) = p6 · (1 − p)4 . Maximieren Sie die Likelihood-Funktion L und interpretieren Sie das Ergebnis
im Hinblick auf die vorliegende Stichprobe.
Aufgabe 5. (mündlich) (Wiederholung)
Um Produkte von Funktionen integrieren bzw. ihre Stammfunktion bilden zu können,
verwendet man häufig die sogenannte partielle Integration. Diese Regel besagt, dass
man bei einem Integral der Form
Z b
f 0 (x)g(x) dx
a
bis auf einen Korrekturterm die Ableitung unter dem Integral vertauschen darf bzw.
genauer gesagt, dass
Z b
Z b
x=b
f 0 (x)g(x) dx = [f (x)g(x)]x=a
−
f (x)g 0 (x) dx
a
a
mit [f (x)g(x)]x=b
x=a = f (b)g(b) − f (a)g(a) gilt. Die Kettenregel für die Ableitung liefert eine weitere, oft hilfreiche Integrationsregel, die sogenannte Substitutionsregel.
Diese besagt, dass im Falle einer stetigen Funktion f : I → R auf einem Intervall I
und einer stetig differenzierbaren Funktion g : [a, b] → I gilt
Z
a
b
f (g(t))g 0 (t) dt =
Z
g(b)
f (x) dx.
g(a)
Berechnen Sie mithilfe dieser Integrationsregeln die folgenden Integrale:
(a)
R1
(b)
R1
(c)
(d)
(e)
0
x ex dx,
x2 ex dx,
0
R 1 3x2 +2
dx,
0 x3 +2x+1
Rπ
x
sin(x) e dx,
0
R 1 3x
√
dx.
0
x2 +8
