Ubungen zur Schadenversicherungsmathematik

Prof. Dr. Michael Fröhlich
Fakultät IM
OTH Regensburg
Übungen zur Schadenversicherungsmathematik, SoSe 2017
Studienfach Aktuarswissenschaften
Blatt 1
1. Seien X, Y positive Zufallsgrösen und a > 0. Zeigen Sie
(a) V(aX) = V(X).
(b) V(X + Y) ≤ V(X) + V(Y).
2. Sei X ∼ U(a, b). Man zeige für alle n ∈ N
n
1 X k n−k
E(X ) =
ab .
n+1
n
k=0
3. Sei h : R+ → R+ eine mononton wachsende und nichtnegative Funktion
mit h(t) > 0. Beweisen Sie die Markov-Ungleichung
P(X ≥ t) ≤
E(h(X))
h(t)
für eine diskrete nichtnegative Zufallsgröße X.
4. Gegeben sind n > 1 beobachtete Schadenhöhen xi eines Versicherungsportfolios. Die unabhängigen zugehörigen Schadenhöhen-Zufallsgrößen Xi mit
den Realisierungen xi seien identisch verteilt.
Zeigen Sie, daß
 n

n

1 X
1X
2



(xi − m)  mit m :=
xi
n−1
n
i=1
i=1
ein erwartungstreuer Schätzer der Varianz Var(Xi ) ist.
5. Ein Versicherungsunternehmen hat in einer Sparte einen Bestand von 700
Risiken. Dieser Bestand wird durch ein individuelles Modell für einen homogenen Bestand modelliert.
Dabei wird angenommen, daß während eines Jahres im Mittel
90% aller Risiken keine Schäden,
9% aller Risiken Schäden in Höhe von 100 EUR pro Risiko und
1% aller Risiken Schäden in Höhe von 1000 EUR pro Risiko verursachen.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Ungleichung von Cantelli die Risikoprämie für den Bestand
und für ein einzelnes Risiko unter der Annahme, daß die Ruinwahrscheinlichkeit 10% beträgt.
6. Ein Versicherungsunternehmen modelliert einen Teilbestand mit Hilfe eines kollektiven Modells (N, (X j ) j∈N ). Welche Verteilung ergibt sich für den
N
P
Gesamtschaden S =
Xj
j=1
(a) im Fall PN = Poi(α) und PX = B(1, η)?
(b) im Fall PN = NB(β, θ) und PX = B(1, η)?
7. Ein VU hat einen Bestand von 1.000 Risiken, die als unabhängig angenommen werden können. Erfahrungsgemäß bleiben 90% der Schäden schadenfrei, und die anderen Schäden verursachen einen Schaden in Höhe von 1
EUR.
(a) Modellieren Sie diesen Bestand.
(b) Bestimmen Sie Verteilung, Erwartungswert und Varianz des Gesamtschadens.
(c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Ungleichung von Cantelli die Risikoprämie
für den Bestand und für ein einzelnes Risiko unter der Annahme, daß die
Ruinwahrscheinlichkeit maximal 5% beträgt.
(d) Bestimmen Sie mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes die Risikoprämie
für den Bestand und für ein einzelnes Risiko unter der Annahme, daß die
Ruinwahrscheinlichkeit maximal 5% beträgt.
8. Warum ist die Schiefe einer Zufallsgrößen X mit Var(X) > 0 durch
γ(X) :=
E((X − E(X))3 )
3
Var(x) 2
definiert?
2