STATISTIK II F¨UR WIWI
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Blatt 7 SS 2003 D. Kahnert STATISTIK II FÜR WIWI Aufgabe 30. Für die Gewichte von Warenpackungen wird angenommen, dass sie durch unabhängige N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariablen beschrieben werden können, wobei µ und σ 2 unbekannt seien. Eine Stichprobe vom Umfang 10 aus dem Warenlager ergab für die Gewichte (in kp) 20.40 20.25 19.80 20.00 20.05 19.90 20.50 20.15 20.20 20.10 Man bestimme ein konkretes Schätzintervall der Form [a, ∞) für µ zum Niveau 0.99. Aufgabe 31. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch N (µ, 25)verteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ ∈ R. a) Wie groß muss n mindestens gewählt werden, damit bei dem üblichen Konfidenzschätzverfahren für den Parameter µ zum Konfidenzniveau 0.9 ein konkretes Schätzintervall entsteht, dessen Länge nicht größer als 1.25 ist? b) Welches Konfidenzniveau besitzt das übliche Konfidenzschätzverfahren für den Parameter µ, wenn bei n = 200 konkrete Schätzintervalle der Länge 1.15 entstehen? c) Welche Länge besitzt ein konkretes Schätzintervall, das bei n = 150 mit dem üblichen Konfidenzschätzverfahren zum Niveau 0.8 für das Schätzen des Parameters µ entsteht? Aufgabe 32. Eine in einer Brauerei zur Abfüllung von Flaschen eingesetzte Maschine ist auf den Normwert 0.33 l eingestellt. Bei der Messung der Biermengen in 10 abgefüllten Flaschen ergaben sich die folgenden Werte (in Liter): 0.329 0.339 0.331 0.324 0.328 0.327 0.334 0.336 0.332 0.326 a) Unter der Annahme, dass die Messwerte eine Realisierung von unabhängigen identisch N (0.33, σ 2 )-verteilten Zufallsvariablen sind, berechne man mittels eines Konfidenzschätzverfahrens zum Konfidenzniveau 0.95 aus der angegebenen Messreihe ein konkretes Schätzintervall für den Parameter σ 2 . b) Unter der Annahme, dass der Parameter σ 2 im berechneten konkreten Schätzintervall liegt, bestimme man eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass in eine bestimmte Flasche höchstens 0.32 l Bier abgefüllt werden. Aufgabe 33. Bei der Produktion von bestimmten Bauteilen für elektronische Geräte entstehen mit einer (unbekannten) Wahrscheinlichkeit p defekte Stücke. Um Aufschluss über die Wahrscheinlichkeit p zu bekommen, wird bei laufender Produktion eine Stichprobe von n Bauteilen entnommen, die auf ihre Funktionstüchtigkeit überprüft werden. Unter geeigneten Annahmen a) bestimme man für n = 600 ein konkretes Schätzintervall zum (approximativen) Konfidenzniveau 0.95 für p, wenn 69 der 600 überprüften Bauteile defekt sind. b) bestimme man ein n, so dass das in a) verwendete Konfidenzschätzverfahren zum selben Niveau konkrete Schätzintervalle liefert, deren Längen nicht größer als 0.05 sind. Aufgabe 34. In einer Fabrik wurden innerhalb eines Jahres 100 Fälle registriert, in denen ein Arbeitnehmer genau einen Tag bei der Arbeit fehlte. Davon entfielen auf die einzelnen Wochentage Wochentag Mo Anzahl 22 Di 19 Mi 16 Do Fr 18 25 Ist die Annahme haltbar, dass sich solche eintägigen Arbeitsausfälle gleichmäßig auf die fünf Arbeitstage verteilen? Man prüfe eine entsprechende Hypothese mit einem geeigneten Testverfahren zum Niveau 5%. Aufgabe 35. Ein Taschenrechner liefert Zufallszahlen zwischen 0 und 1. Es wurden nacheinander 1000 dieser Zahlen erzeugt. Nach Einteilung des Intervalls [0, 1] in 10 gleichgroße Teilintervalle wurde gezählt, wieviele der 1000 Zufallszahlen auf die einzelnen Klassen entfielen. Man erhielt folgende Tabelle: Klasse Anzahl ..... ..... [0, 0.1] 680 (0.6, 0.7] 136 (0.1, 0.2] 116 (0.7, 0.8] 101 (0.2, 0.3] 101 (0.8, 0.9] 79 (0.3, 0.4] 107 (0.4, 0.5] 92 (0.5, 0.6] ..... 100 ..... (0.9, 1] 100 Mit Hilfe eines geeigneten χ2 -Tests zum Niveau α = 0.05 überprüfe man, ob die Zufallszahlen x1 , . . . , x100 als eine Folge von im Intervall [0, 1] gleichverteilten Zufallszahlen, d.h. als Realisierung von unabhängigen, R(0, 1)-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , X1000 angesehen werden können.
