¨Ubungsblatt 7 Schätzverfahren

UNIVERSITÄT WIEN
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Einführende Statistik
Übungsblatt 7
Schätzverfahren
Aufgabe 1
In einer Urne befindet sich eine (unbekannte) Anzahl θ von Kugeln, die mit den Zahlen
1, 2, . . . , θ durchnummeriert sind. Die Anzahl θ der Kugeln soll geschätzt werden. Dazu
wird aus der Urne eine Kugel gezogen und ihre Nummer notiert. Die Zufallsvariable X
beschreibe die Nummer der gezogenen Kugel.
a) Man bestimme die Verteilung von X in Abhängigkeit von θ.
b) Man zeige, dass T (X) = 2X − 1 ein erwartungstreuer Schätzer für θ ist.
c) In den Fällen θ = 4 und θ = 5 berechne man jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass θ mit T exakt geschätzt wird.
d) Man berechne die Varianz von T .
Aufgabe 2
In Fortsetzung der vorangegangenen Aufgabe sollen nun zwei Kugeln mit Zurücklegen
gezogen werden. Ihre Nummern werden durch die Zufallsvariablen X1 und X2 beschrieben.
Sei
X ∗ = max(X1 , X2 )
a) Man bestimme die Verteilung von X ∗ .
b) Man zeige, dass
T (X ∗ ) =
1
2X ∗ − 1
· (X ∗ )3 − (X ∗ − 1)3
ein erwartungstreuer Schätzer für θ ist.
Aufgabe 3
Ein Fahrkartenkontrolleur überprüft einen Tag lang auf verschiedenen Darmstädter Straßenbahnlinien die Fahrkarten von Fahrgästen. Er überprüft jeweils solange bis er einen
Fahrgast ohne gültigen Fahrschein antrifft. Nach Ausstellung eines Strafprotokolls kassiert
er von diesem ein Bußgeld und beginnt nach einer Pause mit einer neuen Überprüfung.
Die folgenden Zahlen geben an, wie viele Fahrgäste bei 10 solchen Überprüfungen jeweils
überprüft wurden, bis ein Bußgeld fällig wurde:
42 50 40 64 30 36 68 42 46 48
Beschreibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Personen, die überprüft werden, bis ein
Fahrgast ohne gültigen Fahrausweis angetroffen wird, so kann angenommen werden, dass
Pθ (X = n) = (1 − θ)n−1 · θ
gilt, wobei θ · 100% als prozentualer Anteil der Schwarzfahrer unter allen Fahrgästen zu
interpretieren ist.
Man bestimme aufgrund obiger Messwerte einen Maximum-Likelihood-Schätzwert für θ.
Aufgabe 4
Ein System bestehe aus den Komponenten K1 , K2 und K3 , die hintereinander geschaltet
sind, d.h. das System fällt aus, wenn mindestens eine Komponente ausfällt.
Dabei wird angenommen, dass die Lebensdauern der Komponenten K1 , K2 , K3 durch
unabhängige, stetig verteilte Zufallsvariablen X1 , X2 , X3 beschrieben werden können. X1
sei exponentialverteilt mit Erwartungswert 1θ > 0, X2 und X3 seien identisch verteilt mit
Dichte
(
!
√
θ
−θ 3 x
√
e
für
x
>
0
3
3 x2
fθ (x) =
0
sonst
(Weibull-Verteilung)
Man berechne Verteilungsfunktion und Dichte für die zufällige Lebensdauer S des Systems.
Aufgabe 5
In Fortsetzung der vorangegangenen Aufgabe ergaben sich bei Messungen der Lebensdauer des Systems folgende Werte (in Std.):
82.2 94.0 122.5 95.8 106.4
Man gebe die Likelihood-Funktion an und bestimme den Maximum-Likelihood-Schätzwert
für θ.
Aufgabe 6
12 Versuchsflächen werden mit einer neuen Weizensorte bestellt. Diese Flächen erbrachten
folgende Hektarerträge:
35.6 33.7 37.8 31.2 37.2 34.1 35.8 36.6 37.1 34.9 35.6 34.0
Aus Erfahrung weiß man, dass die Hektarerträge als eine Realisierung unabhängiger,
N (µ, 3.24)-verteilter Zufallsvariablen angesehen werden können. Man gebe für den Erwartungswert µ ein konkretes Schätzintervall zum Niveau 0.95 an.
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Aufgabe 7
Für die Gewichte von Warenpackungen wird angenommen, dass sie durch unabhängige
N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariablen beschrieben werden können, wobei µ und σ 2 unbekannt
seien. Eine Stichprobe vom Umfang 10 aus dem Warenlager ergab für die Gewichte:
20.40 20.25 19.80 20.00 20.05 19.90 20.50 20.15 20.20 20.10
Man bestimme ein konkretes Schätzintervall der Form [a, ∞) für µ zum Niveau 0.99.
Aufgabe 8
In einer Stadt liegen für 161 Jahre die Niederschlagsmengen im Monat April vor. Die
Messreihe x1 , . . . , x161 (xi = Niederschlagshöhe in mm im i-ten Jahr) hat das arithmetische
Mittel x = 53.68 und die empirische Streuung s = 6.13. Es wird angenommen, dass die
Werte x1 , . . . , x161 eine Realisierung von 161 unabhängigen, identisch N (µ, σ 2 )-verteilten
Zufallsvariablen sind. Mit Konfidenzschätzverfahren zum Niveau 1 − α = 0.98 bestimme
man je ein konkretes Schätzintervall
a) für µ
b) für σ 2
c) für µ unter der Voraussetzung σ 2 = 6.132
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