Blatt 12

Humboldt-Universität zu Berlin
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Blatt 12
Sommersemester 2014
Version vom 2. Juli 2014
Prof. Dr. Dirk Becherer
Klébert Kentia Tonleu, Peter Frentrup
Übungen zur Stochastik 1
Aufgabe 1 (2 Zusatzpunkte)
Seien Xi ∼ Exp(λ) i.i.d. für i ∈ N. Zeigen Sie direkt, d.h. ohne den zentralen Grenzwertsatz zu
verwenden, dass
Pn
Xi − nE[X1 ] D
i=1
p
−−−→ N (0, 1).
n→∞
n V(X1 )
Aufgabe 2 (3 Zusatzpunkte)
Ein Reißnagel kann auf die Spitze oder den Rücken fallen, und zwar falle er auf die Spitze mit Wahrscheinlichkeit ϑ. Gesucht ist ein Schätzer für das unbekannte ϑ bei Beobachtung von n Würfen.
a) Stellen Sie ein geeignetes statistisches Modell (X , F, {Pϑ | ϑ ∈ Θ}) auf.
b) Geben Sie die Likelihood-Funktionen Lx (ϑ), mit x ∈ X und ϑ ∈ Θ, an.
c) Bestimmen Sie alle Maximum-Likelihood-Schätzer ϑ̂ ∈ Θ für ϑ.
Aufgabe 3 (3 Zusatzpunkte)
Sei (X , F, {Pϑ | ϑ ∈ Θ}) ein statistisches Modell. Betrachte L2 (Pϑ )-Zufallsvariablen Xi , i ∈ N, die
unter allen Pϑ , ϑ ∈ Θ, i.i.d. sind. Aus der Vorlesung kennen wir Schätzer X̄n für mϑ := Eϑ [Xi ] und
s2n für σϑ2 := Vϑ (Xi ), nämlich:
n
X̄n :=
1X
Xi
n
i=1
n
und s2n :=
1 X
(Xi − X̄n )2 .
n−1
i=1
Es wurde schon gezeigt, dass X̄n erwartungstreu und stark konsistent für mϑ ist und dass s2n erwartungstreu für σϑ2 ist.
Zeigen Sie, dass (s2n )n≥2 eine stark konsistente Folge von Schätzern für σϑ2 ist.
Aufgabe 4 (2 Zusatzpunkte)
Wir betrachten die Bin(n, p)-Verteilungen Pp mit Zähldichte ρp (x) = Pp [{x}], x ∈ X = {0, . . . , n}
und unbekanntem Parameter p.
a) Zeigen Sie, dass der Likelihoodquotient q(x) =
ρp1 (x)
ρp0 (x)
für 0 < p0 < p1 < 1 monoton in x wächst.
b) Geben Sie die Form des optimalen Tests zum Niveau α für die einfache Null-Hypothese H0 : p = p0
gegen die einfache Alternative H1 : p = p1 mit p0 < p1 an.
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Aufgabe 5 (Präsenzaufgabe)
Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begründen Sie.
a) Sei A eine Algebra. Zwei Maße auf σ(A) sind genau dann gleich, wenn sie auf A übereinstimmen.
b) Eine Folge von Zufallsvariablen (Xn )n∈N konvergiert in Verteilung gegen eine Zufallsvariable X
genau dann, wenn die charakteristischen Funktionen punktweise konvergieren: lim ϕXn (t) = ϕX (t)
n→∞
für alle t ∈ R.
c) Sind die Zufallsvariablen (Xn )n∈N unabhängig und N (0, 1)-verteilt, so konvergiert wegen E[X14 ] = 3
n
1 X 2
√
die Folge
(Xk − 1) in Verteilung gegen die N (0, 1)-Verteilung.
n
k=1
d) Beliebige Ereignisse A1 , . . . , An mit positiven Wahrscheinlichkeiten unter dem Maß P sind genau
dann unabhängig, wenn P[Ai | Aj ] = P[Ai ] für alle i, j ∈ {1, . . . , n} mit i 6= j gilt.
n
e) Sind die Zufallsvariablen (Xn )n∈N unkorreliert und Exp(λ)-verteilt, so gilt
1X
2
P
Xk −−−→ 2 .
n→∞ λ
n
k=1
f) Besitzen zwei Zufallsvariablen X und Y Dichten, so besitzt auch XY eine Dichte.
g) Seien An , n ∈ N, unabhängige Ereignisse auf (Ω, F, P) und A := lim inf n→∞ An . Falls
∞
X
P[An ] < ∞,
n=1
so gilt P[A] = 0.
h) Ein Test R hat Irrtumsniveau α, falls α ≥ sup Pϑ [R].
ϑ∈Θ1
i) Für beliebiges g : Θ → R existiert stets ein erwartungstreuer Schätzer ĝ : X → g(Θ).
Abgabe: Mittwoch, 09.07.2014
Die Lösungen können in Zweiergruppen abgegeben werden. Die Aufgaben sind auf getrennten Blättern
zu lösen. Auf jedes Blatt schreiben Sie bitte ihre Namen, Matrikelnummern und Übungsgruppe.
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