Blatt 11 Wahrscheinlichkeitstheorie WS 2009/10

Blatt 11
Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2009/10
Aufgabe 56 (Präsenzaufgabe). In einem Spiel wird jede Runde eine faire Münze geworfen.
Bei “Zahl” gewinnt jeder der Mitspieler das 23 –fache seines derzeitigen Kapitals hinzu, bei
“Kopf” verliert jeder die Hälfte seines derzeitigen Kapitals. Die Zufallsvariable Xn gebe den
Wert des Kapitals eines der Spieler nach dem n–ten Münzwurf an, wobei X0 = 1. Zeigen Sie,
dass Xn → 0 P –fast sicher, aber EXn → ∞ (n → ∞).
Aufgabe 57 (Votieraufgabe). Es seien Y, Y1 , . . . , Yn unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert µ. Zeigen Sie mit Hilfe charakteristischer Funktionen
und des schwachen Gesetzes der großen Zahlen, dass
h i in
lim E e n t Y
= ei t µ ∀t ∈ R
n→∞
(wobei i =
√
−1).
Aufgabe 58 (Votieraufgabe). Es sei Fn : R → [0, 1], n ∈ N0 , eine Folge von Verteilungsfunktionen mit
lim Fn (x) = F0 (x)
n→∞
für alle x ∈ R.
Zeigen Sie, dass die Fn gleichmäßig gegen F0 konvergieren, falls F0 stetig ist.
Aufgabe 59 (Votieraufgabe). In eine Alarmanlage ist ein elektronisches Bauteil integriert.
Sobald es nicht mehr funktionsfähig ist, wird es unmittelbar durch ein gleichartiges Bauelement
ersetzt. Die Lebensdauern der einzelnen Bauelemente dieses Typs seien unabhängig und jeweils
exp(λ)-verteilt. Sei Xn die Lebensdauer des n-Bauelements, S0 := 0 und Sn := X1 + . . . + Xn .
Dann ist Sn der Zeitpunkt der n-Erneuerung und
N (t) := max{n ∈ N0 : Sn ≤ t}
die Anzahl der Erneuerungen im Intervall [0, t].
Zeigen Sie, dass
N (t) − λt
√
λt
für n → ∞ nach Verteilung konvergiert und bestimmen Sie die Grenzverteilung.
Aufgabe 60 (Votieraufgabe). Sei X1 , . . . , Xn eine Folge unabhängiger, identisch verteilter
und quadratisch integrierbarer reeller Zufallsvariablen mit Varianz σ 2 := VX1 . Als Schätzer
für σ 2 dient
s2n (X1 , . . . , Xn )
n
X
1
:=
·
(Xi − X̄)2
n − 1 i=1
n
1X
wobei X̄ :=
Xi .
n i=1
a) Zeigen Sie, dass s2n ein unverzerrter Schätzer von σ 2 ist, d.h. E s2n (X1 , . . . , Xn ) = σ 2 .
b) Weisen Sie nach, dass s2n ein stark konsistenter Schätzer von σ 2 ist, d.h. s2n (X1 , . . . , Xn ) →
σ 2 P -fast sicher (n → ∞).
Aufgabe 61 (Programmieraufgabe; hochzuladen bis Montag, 18.01.2010). Schreiben
Sie ein R-Programm, welches die in Aufgabe 59 genannte Grenzverteilung auf empirischem Wege
zu ermitteln versucht. Konstruieren Sie hierzu z.B. eine geeignete Grafik.
Vorlesung und Übungen: J. Dippon, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65384, e-mail [email protected]
Übungen: P.. Schnizler, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-6 0711-685-65382, e-mail [email protected]
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