Mathematisches Institut SS 2012 der Heinrich

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine Universität
Düsseldorf
PD. Dr. Axel Grünrock
SS 2012
20.04.2012
Blatt 2
ÜBUNGEN ZUR ANALYSIS I
5. Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
n
X
1
(a)
k 2 = n(n + 1)(2n + 1),
6
k=1
n
X
1
(b)
k 3 = n2 (n + 1)2 .
4
k=1
Zusatz zu Teil (a): Wie groß ist die Anzahl aller Quadrate auf einem Schachbrett?
Im Folgenden sei sn (p) =
n
X
kp.
k=1
6. Zeigen Sie durch Induktion über n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die
Pascal’sche Identität
q X
q+1
sn (p) = (n + 1)q+1 − 1.
p
p=0
Folgern Sie, dass sn (4) =
1
n(n
30
+ 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1).
7. Zeigen Sie: Zu jedem q ≥ 1 existieren rationale Zahlen ak,q , 1 ≤ k ≤ q − 1, so dass
q−1
1 q X
1
q+1
n
+ n +
ak,q nq−k .
sn (q) =
q+1
2
k=1
8. Durch Aufspalten von s2n (p) in Beiträge von geraden und ungeraden Indices zeige
man die Identität
n
X
(2k − 1)p = s2n (p) − 2p sn (p).
k=1
Was ergibt sich für p ∈ {1, 2, 3}?
Abgabe: Fr., 27.04.2012, 10.25 Uhr
Besprechung: Mi., 02.05.2012 und Do., 02.05.2012
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