¨Ubungen zur Analysis einer Variablen

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
WiSe 2012/2013
Übungen zur Analysis einer Variablen
Prof. Dr. P. Pickl
Blatt 2
Aufgabe 1. Berechnen Sie die Werte folgender Ausdrücke:
!
!
!
!
2
3
2
3
3
2
2
3
Y
X
Y
X
X
Y
Y
X
(ij) ;
(km) ;
(km) ;
k
m ;
i=1
j=1
k=1
m=1
m=1
k=1
k=1
m=1
3
X
m=1
m
2
Y
!
k .
k=1
P
Bemerkung: Ähnlich wie das Summenzeichen ‘ ’ ist das Produktzeichen ‘Π’ folgendermaßen definiert:
b
Y
f (j) = f (a) · f (a + 1) · f (a + 2) · ... · f (b − 2) · f (b − 1) · f (b),
j=a
wobei a,Q
b ∈ N und f (j) ∈ R für jedes jQ∈ N mit a ≤ j ≤ b. (Die Konvention für den Fall
b
b
a ≥ b:
j=a f (j) = 1, falls a > b.)
j=a f (j) = f (a), falls a = b;
Aufgabe 2. Beweisen Sie durch vollständige Induktion die folgenden Formeln:
(a) (1 + x)n ≥ 1 + nx, wobei x ∈ R mit x ≥ −1 und n ∈ N;
(b)
n
P
k=1
k2 =
n(n+1)(2n+1)
.
6
Aufgabe 3. Überprüfen Sie, ob es sich im folgenden um Gruppen handelt:
(a) (Q, · ), wobei die Verknüpfung ‘ · ’ die aus der Schule bekannte Multiplikation von
Brüchen ist.
(b) ({0, 1, 2, 3}, ⊕), wobei die Verknüpfung ‘⊕’ für a, b ∈ {0, 1, 2, 3} wie folgt definiert
ist:
a ⊕ b = der Rest beim Teilen von a + b durch 4.
Geben Sie, falls möglich, neutrales Element und alle Inversen an.
Aufgabe 4. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass die in der Vorlesung definierte
Summe natürlicher Zahlen kommutativ ist, d.h. für alle n, m ∈ N gilt: n + m = m + n.
Hinweis: Benutzen Sie die Peano-Axiome, die in der Vorlesung gegebene Definition der
Summe natürlicher Zahlen und die folgende in der Vorlesung bewiesene Gleichung:
n + m0 = n0 + m für alle n, m ∈ N.
Abgabe: Woche ab 05.11.2012.