¨Ubung zur Elementarmathematik II Blatt 3

Prof. Dr. Christoph Kühn
SoSe 2011
Übung zur Elementarmathematik II
Blatt 3
Abgabe Montag, 23.5.2011 vor der Vorlesung
Aufgabe 7 Sei (an )n∈N die Folge der Fibonacci-Zahlen, d.h. a1 := 0, a2 := 1
und an := an−2 + an−1 für alle n ≥ 3. Beweisen Sie folgende Aussagen durch
vollständige Induktion
Pn
(a)
k=1 ak = an+2 − 1 für alle n ∈ N
(b)
P2n
(c)
Pn
k−1
ak
k=1 (−1)
k=1
= −a2n−1 − 1 für alle n ∈ N
a2k = an an+1 für alle n ∈ N
Aufgabe 8
(a)
Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N gilt
13 + 23 + 33 + . . . + n3 =
(b)
n2 (n + 1)2
.
4
Für n ∈ N0 sei 0! := 1, 1! := 1, n! := 1 · 2 · . . . · n. Zeigen Sie, dass für alle
n, k ∈ N0 mit n ≥ k gilt
n! ≥ k!(k + 1)n−k
(c)
Zeigen Sie, dass n2 ≤ 2n für alle natürlichen Zahlen n 6= 3.
Tipp: vollständige Induktion
Aufgabe 9
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen in R. Man begründe (Beweis !) oder widerlege
(Gegenbeispiel) folgende Aussagen
(a)
(b)
(c)
Sind (an )n∈N und (bn )n∈N divergent, dann ist auch die Folge (cn )n∈N mit
cn := an + bn divergent.
Wenn (an )n∈N konvergent ist, dann ist auch die Folge (cn )n∈N mit cn :=
max(an , an+1 ) konvergent.
Aus an → 0 für n → ∞ und (bn )n∈N beschränkt folgt an bn → 0 für n → ∞.
Allgemeiner Hinweis: Für jede Aufgabe gibt es 6 Punkte.
1