Einführung in die Topologie

Zürich, 08.05.2008
Universität Zürich
Thomas Foertsch
Anna Mätzener
Johannes Meyer
10. Übung zur
Einführung in die Topologie
Aufgabe 1
1. Zeigen Sie, dass für Wege in einem topologischen Raum
die Aussage
f0 · g0 ' f1 · g1 und g0 ' g1
=⇒
f0 ' f1
gilt.
2. Zeigen Sie, dass der Isomomorphismus βh : π1 (X, h(1)) −→ π1 (X, h(0)),
der in der Vorlesung definiert wurde, nur von der Homotopieklasse von
h abhängt.
3. Sei X wegzusammenhängend. Zeigen Sie, dass π1 (X) abelsch ist,
genau dann, wenn alle Basispunktwechsel βh nur von den Endpunkten
von h abhängen.
6 Punkte
Aufgabe 2 Sei f : S 1 × I −→ S 1 × I, f (θ, s) = (θ + 2πs, s). Entlang der
Randkreise S 1 × {0} und S 1 × {1} stimmt f also mit der Identität überein.
Zeigen Sie, dass f homotop zur Identität via einer Homotopie ft ist, die
entlang eines der Randkreise mit der Identität übereinstimmt, nicht aber via
einer Homotopie, die auf beiden Randkreisen mit der Identität übereinstimmt.
3 Punkte
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Aufgabe 3 Aus der Isomorphie π1 (X × Y, (x0 , y0 )) ≈ π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 )
folgt sofort, dass Loops in X×{y0 } und {x0 }×Y kommutierende Elemente in
π1 (X ×Y, (x0 , y0 )) repräsentieren. Konstruieren Sie explizit eine Homotopie,
die dies bestätigt.
3 Punkte
Aufgabe 4 Sei X0 eine Wegzusammenhangskomponente des topologischen
Raumes X, x0 ∈ X0 . Zeigen Sie, dass die Inklusion X0 ,→ X einen Isomorphismus π1 (X0 , x0 ) −→ π1 (X, x0 ) induziert.
2 Punkte
Abgabe: Donnerstag, den 15. Mai - vor der Vorlesung.
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