Quantenmechanik, Sommersemester 2011, ¨Ubung 12

Quantenmechanik, Sommersemester 2011, Übung 12
Christof Gattringer, Florian Hebenstreit
Aufgabe 12.1
In der Vorlesung haben wir den Operator konstruiert der Drehungen im
Hilbertraum unitär darstellt. In ähnlicher Weise sollen Sie nun zeigen, dass
der Operator
i b
U (~a) = e− h̄ ~a·p~ ,
(1)
räumliche Verscheibungen um ~a unitär darstellt. Dabei ist b
p~ der Impulsope0
rator, und die transformierte Wellenfunktion ψ ist
U (~a) ψ(~r ) = ψ 0 (~r ) = ψ(~r − ~a) .
(2)
Betrachten Sie zuerst eine infinitesimale Verschiebung um einen Vektor d~a.
Eine endliche Transformation der Form (1) kann dann wieder durch Hintereinanderschalten von infinitesimalen Transformationen erhalten werden.
Zeigen Sie auch die Eigenschaften
U (~a)† = U (−~a) = U (~a)−1 .
(3)
Genau wie beim Drehimpuls transformieren sich auch bei den räumlichen
Translationen Observablen Ab gemäß der Gleichung
Ab0 = U (~a) Ab U (~a)† .
(4)
Zeigen Sie nun speziell für den Ortsoperator ~br die Identität
b.
~br = U (~a) ~br U (~a)† = ~br − ~a
(5)
Stellen Sie für diesen Beweis den Operator U (~a) zuerst durch seine Potenzreihe dar. Für die Wirkung der einzelnen Terme in U (~a) ~br beweisen Sie zuerst
mit vollständiger Induktion die Identität (~a ·∇)n ~r = n~a(~a ·∇)n−1 +~r(~a ·∇)n .
Summieren Sie anschließend die Summe wieder und es ergibt sich das Resultat (5).
1
Aufgabe 12.2
Zeigen Sie die folgenden beiden Identitäten
( ~a · ~σ )2 = ~a 2 1
,
e iβ ~n·~σ = cos(β)1 + i sin(β) ~n · ~σ .
(6)
Dabei ist ~σ der Vektor der drei Pauli Matrizen und ~n ein beliebiger Vektor
der Länge 1. Bei der zweiten Identität empfiehlt es sich wieder die Exponentialfunktion durch ihre Potenzreihe darzustellen und die erste Identität
zu verwenden.
Aufgabe 12.3
In der Vorlesung wurden Spinorwellenfunktionen eingeführt,
Ã
ψ(~r ) =
ψ+ (~r )
ψ− (~r )
!
.
(7)
b
~ immer gilt
Zeigen Sie, dass für den Spinoperator S
b2
~ |ψi = h̄2
hψ| S
Drücken Sie außerdem
hψ| Sbz |ψi
durch die Komponenten ψ+ und ψ− aus.
2
3
.
4
(8)
(9)