Statistik I - Ruhr-Universität Bochum

Statistik I
H. Dette
SoSe 2013
Übungsblatt 9
Aufgabe 1: Sei X1 , X2 , ... eine i.i.d. Folge reeller Zufallsvariablen mit Varianz σ 2 > 0 und
κ = EX14 < ∞. Bestimme die asymptotische Verteilung der Größe
n
X
n1/2 n−1
(Xi − X̄n )2 − σ 2 .
i=1
Was ergibt sich falls X1 ∼
N (µ, σ 2 )?
Aufgabe 2: Betrachte eine Folge positiver Zahlen cn → ∞. Sei weiter Xn eine Folge von
R-wertigen Zufallsvariablen und es gelte für ein µ ∈ R
D
cn (Xn − µ) −→ N (0, σ 2 ).
Weiterhin bezeichne g : R → R eine Funktion, die in einer Umgebung von µ zwei mal stetig
differenzierbar ist, und es sei g 0 (µ) = 0, g 00 (µ) > 0. Zeige, das dann
P
cn (g(Xn ) − g(µ)) −→ 0,
2c2n (g(Xn ) − g(µ)) D 2
−→ χ1 .
σ 2 g 00 (µ)
Hinweis: Taylor Entwicklung
Aufgabe 3∗ : Sei X1 , X2 , ... eine Folge unabhängiger, N (µ, 1)-verteilter Zufallsvariablen. Betrachte die Folge von Schätzern Tn (X1 , ..., Xn ) = X̄n I{|X̄n | > n−1/4 }.
√
D
1. Zeige: ist µ 6= 0, so gilt n(Tn − µ) −→ N (0, 1).
√
P
2. Ist µ = 0, so gilt: n(Tn − µ) −→ 0.
3. Sei µ = 0 und seien Yin = Xi + n−1/3 , i = 1, ..., n. Zeige:
√
P
n(Tn (Y1n , ..., Ynn ) − E[Y1n ]) −→ −∞.
Diese Aufgabe zeigt, das man den Mittelwert als Schätzer für µ selbst bei normalverteilten
Daten an einem festen Punkt des Parameterraums (asymptotisch) verbessern kann. Allerdings
verschlechtert sich das Verhalten des Schätzers dann, wenn man zulässt, dass die Daten aus
einer Folge von Parametern erzeugt werden. Man spricht hierbei von Supereffizienz.
Aufgabe 4∗ : Seien X1 , X2 , ... i.i.d. ∼ U [0, θ] für θ > 0. Zwei mögliche Schätzer für θ sind
n
T̂n = maxni=1 Xi und Ŝn = n+1
n maxi=1 Xi . Finde eine Folge von reellen Zahlen cn → ∞ so
dass cn (T̂n − θ) und cn (Ŝn − θ) in Verteilung gegen nicht degenerierte [d.h. nicht f.s. konstante] Grenzwerte konvergieren (die Grenzverteilungen hängen von θ ab). Welcher der beiden
Schätzer ist asymptotisch vorzuziehen? Beachte: laut Vorlesung ist T̂n in diesem Modell der ML
Schätzer, T̂n ist jedoch nicht asymptotisch normal verteilt. Warum ist dies kein Widerspruch
zur Vorlesung?
Hinweis: betrachte die punktweise Konvergenz der Verteilungsfunktionen.
Abgabe: Am Freitag, 21.06 vor der Vorlesung
Übungsgruppenleiter: Stanislav Volgushev, NA 3/74, [email protected]