Hausaufgabe 2

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, Dr. M. Tautenhahn
Statistik, WS 12/13
Hausaufgabe 2
Abgabe am 05.11.2013 in der Vorlesung
Aufgabe 1. Zu vorgegebenen ϑ > 0 sei in der nachfolgenden Abbildung die Dichte einer
Lebensdauerverteilung gegeben.
y
ϑ
b
x
(a) Bestimmen Sie die obere Grenze b in Abhängigkeit von ϑ und geben Sie die Gleichung
der Dichte an.
(b) Bestimmen Sie die Gleichung für die Maximum-Likelihood-Schätzung des Parameters ϑ zu einer Stichprobe vom Umfang n.
(c) Bestimmen Sie die Gleichung die Maximum-Likelihood-Schätzung für ϑ aus einer
Stichprobe vom Umfang n = 1.
Aufgabe 2. Ein Versuch, bei dem ein Erreignis A mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1)
eintritt, wird so oft unabhängig voneinander wiederholt bis zum z-ten mal A eintritt
(z vorgegeben!). Die Zufallsvariable N bezeichnet die Anzahl der dazu erforderlichen
Versuchsdurchführungen (N = z, z + 1, z + 2, . . .).
(a) Man bestimme die Verteilung von N !
(b) Man bestimme die Maximum-Likelihood-Schätzung für p!
Aufgabe 3 (Guter Schätzer mit Bias). Wir betrachten das Binomialmodell. Sei also
X = {0, 1, . . . , n}, Θ = [0, 1] und Pϑ = Bn,ϑ für ϑ ∈ Θ.
(a) Geben Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer T für ϑ an. Zeigen Sie, daß dieser
Schätzer erwartungstreu ist. Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler
Fϑ (T ) = Eϑ (T − ϑ)2 = Var(T ) + Bϑ (T )2
ϑ
des Schätzers T .
(b) Wir betrachten nun den Schäter S(x) = (x + 1)/(n + 2) für ϑ. Ist dieser Schätzer
erwartungstreu? Falls nicht, berechnen Sie den Bias dieses Schätzers. Berechnen Sie
außerdem den mittleren quadratischen Fehler Fϑ (S) des Schätzers S.
(c) Diskutieren Sie die erhaltenen Ergebnisse. Welchen Schätzer würden Sie empfehlen?
Aufgabe 4 (Erwartungstreue). Die Zufallsvariable X besitze eine Dichte der Form

x

falls 0 ≤ x ≤ ϑ,
 ϑ2
fϑ (x) = ϑ2 − ϑx2 falls ϑ < x ≤ 2ϑ,


0
sonst,
mit dem Parameter ϑ > 0.
(a) Berechnen Sie den Erwartungswert und Varianz von X.
(b) Die Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch verteilt wie X.
Bestimmen Sie an so, daß
n
X
2
Tn = an
Xi
i=1
eine erwartungstreue Schätzung für die Varianz ist.
Zusatzaufgabe. Betrachten Sie zu einem gegebenen Mittelwert m ∈ R das n-fache
Gauß’sche Produktmodell (Rn , B(Rn ),
⊗n
mathcalNm,ϑ
: ϑ > 0). Zeigen Sie: Die Statistik
r
T =
n
π1X
|Xi − m|
2 n i=1
auf Rn ist ein erwartungstreuer Schätzer für τ (ϑ) =
kein ϑ die Cramér-Rao-Schranke τ 0 (ϑ)2 /I(ϑ).
√
ϑ, jedoch erreicht ihre Varianz für