Wima-Praktikum II

Sommersemester 2010
Institute of
Mathematical Finance
Matthias Lutz
Wima-Praktikum II
Übungsblatt 2
1. Black-Scholes-Delta-Hedging (Marktdaten)
a) Implementiere zum Schätzen der Volatilität den
–
–
–
–
klassischen close-to-close-Schätzer (ohne Drift)
Parkinson-Schätzer
Garman-Klaas-Schätzer
Rogers-Satchell-Schätzer
b) Nimm an es wurden am 1.7.2009 100 europäische ATM-Calls auf den DAX verkauft mit
Fälligkeit 30.6.2010 und zum Preis der am Markt gequoteten impliziten Vola. Verwende die
Schätzer aus Aufgabenteil a) und tägliche Daten aus dem Zeitraum 31.03.2009 - 30.06.2009
um Näherungen für die zukünftige am Markt vorherrschende Volatilität zu erhalten. Berechne mit den Schätzern auch jeweils die in-sample Volatilitäten (für den Zeitraum 1.7.2009
- 30.6.2010).
c) Delta-Hedge (täglich) die Optionen mit den geschätzten Volatilitäten (aus dem Zeitraum
31.03.2009 - 30.06.2009) sowie der impliziten Volatilität analog zu Blatt 1, Aufgabe 3. Nimm
dabei an dass wir direkt den DAX handeln können und dass die implizite Vola über die Zeit
konstant bleibe. Verwende als Proxy für den Zinssatz r den 3-Monats Euribor. Berechne
jeweils den Hedge-Fehler bei Fälligkeit und plotte die zugehörigen P/L-Pfade.
d) Führe dieselbe Studie für Optionen mit Fälligkeit 30.06.2009 durch.
2. Der Vola-Smile & Digital-Optionen
Eine Digital-Option (oder Binary-Option) mit Strike-Preis K > 0 zahlt bei Fälligkeit in T
g(ST ) = 1[K,∞) (ST ).
a) Leite eine Formel für den Preis einer Digital-Option im Black-Scholes-Modell her.
b) Wie lässt sich der Payoff einer Digital-Option durch ein Portfolio von Call-Optionen “beliebig” genau replizieren ? Folgere daraus wie sich der Preis einer Digital-Option in Abhängigkeit von Call-Options-Preisen angeben lässt.
Am 14.06.2010 schloß der DAX bei 6125. Die impliziten Volatilitäten für Call Optionen auf den
DAX, mit Strikes zwischen 6000 und 6200, einer Restlaufzeit von 95 Tagen und einem risikofreien
Zinssatz von r = 1.01% konnten ungefähr durch die Funktion
σ(K) = −9.4869 · 10−5 K + 0.8061, K ∈ [6000, 6200]
approximiert werden.
c) Berechne mit Hilfe der Formel aus Teil a) den BS-Preis einer Digital-Option mit Strike
6100 unter Verwendung von σ = σ(6100).
d) Berechene den fairen Markt-Preis der Digital-Option mit Hilfe von Teil b).