Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Mathematische Statistik

Prof. Dr. I. Steinwart
Dipl.-Math. M. Eberts
Dipl.-Math. H. Hang
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 4
Mathematische Statistik
30. Mai 2011
Aufgabe 11. Seien X, X1 , . . . , Xn unabhängige identisch verteilte reellwertige ZVen. Die Verteilung von X sei unbekannt. Ausgehend von einer Realisierung x1 , . . . , xn von X1 , . . . , Xn soll für
eine gegebene (messbare) Funktion g : Rl → R der Wert
Z
Z
. . . g(z1 , ..., zl )dPX (z1 ) . . . dPX (zl )
(1)
R
R
geschätzt werden. Beim sogenannten V-Schätzer schätzt man dazu in einem ersten
P Schritt PX
durch die empirische Verteilung µn zu x1 , . . . , xn , d.h. durch µn : B → R, µn (B) = n1 ni=1 δ{xi } (B),
und verwendet dann
Z
Z
. . . g(z1 , ..., zl )dµn (z1 ) . . . dµn (zl )
R
R
als Schätzer für (1).
(a) Stellen Sie den V-Schätzer für
EX =
als Funktion der x1 , . . . , xn dar.
(b) Zeigen Sie
Var(X) =
Z Z
Z
z1 dPX (z1 )
z1 (z1 − z2 )dPX (z1 )dPX (z2 ),
und stellen Sie den V-Schätzer für Var(X) als Funktion der x1 , . . . , xn dar.
Aufgabe 12. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig identisch auf [2a − σ, 2a + σ]
gleichverteilt, wobei (a, σ) ∈ Θ := R × (0, ∞).
(a) Bestimmen Sie die V-Schätzer für a und σ 2 .
Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Dichte von X1 . Was gilt damit für EX1 und Var(X1 )?
(b) Bestimmen Sie die U-Schätzer für a und σ 2 .
Hinweis: Der U-Schätzer ist eine Variante des V-Schätzers, bei der für eine gegebene (messbare)
Funktion g : Rl → R der Wert (1) geschätzt wird durch
n
n X
X
1
···
n · (n − 1) · . . . · (n − l + 1) i =1 i =1
1
2
i2 6=i1
Bitte wenden!
1
n
X
i1 =1
il 6=i1 ,...,il 6=il−1
g(zi1 , . . . , zil ).
Aufgabe 13. (schriftlich) Die unabhängige Stichprobe x = (x1 , . . . , xn ) sei einer Grundgesamtheit entnommen, die auf dem Intervall [0, θ] (mit θ > 0) gleichverteilt ist; d.h. x sei die
Beobachtung eines n-dimensionalen Zufallsvektors X = (X1 , . . . , Xn ) mit unabhängigen identisch
verteilten, und zwar auf [0, θ] gleichverteilten reellen Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn .
(a) Ausgehend vom Mittelwert der Stichprobe bestimme man einen erwartungstreuen Schätzer
für den Parameter θ, d.h. eine messbare Abbildung θ̂ : Rn → R+ = (0, ∞) mit
∀θ > 0
Eθ (θ̂(X1 , . . . , Xn )) = θ.
(b) Ein weiterer Schätzer θ̂ für θ soll mit dem Maximum-Likelihood-Prinzip konstruiert werden,
d.h. eine messbare Abbildung θ̂ : Rn → R+ mit
∀x ∈ Rn
f (δ(x), x) = sup f (θ, x),
θ>0
wobei f (θ, ·) : Rn → R+ eine Dichte von X ist.
Warum versagt in diesem Zusammenhang die Verwendung der Maximum-Likelihood-Gleichung
d ln f (θ, x)
= 0?
dθ
(c) Mit Hilfe des in (b) erhaltenen Resultats gewinne man einen weiteren erwartungstreuen
Schätzer für θ.
(d) Im Hinblick auf einen Vergleich der oben erhaltenen Schätzer ermittle man die zugehörigen
erwarteten Verluste (Risikofunktionen) bei einer zugrundegelegten Gaußschen Verlustfunktion.
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