R S IS S UN E R SIT A SA Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie Prof. Dr. Volker Steinmetz Dipl. Kfm. Dipl. Math. Stefan Klößner IV A VIE N 8. Übungsblatt zur Vorlesung Schließende Statistik WS 2003/2004 Aufgabe 49 Es sei X = (X1 , ..., Xn ) eine einfache Stichprobe zu einer eindimensionalen Zufallsvariablen Y . Zeigen Sie, daß X erschöpfend ist (a) für λ, falls Y Poisson-verteilt ist mit Parameter λ, (b) für µ, falls Y ∼ N (µ, σ02 ) , σ02 > 0 bekannt. Geben Sie bei der Benutzung des Faktorisierungslemmas von Neyman die Funktionen g und h explizit an. Aufgabe 50 Die ZV Y sei gleichverteilt auf {1, . . . , ϑ} (ϑ ∈ N). Bei vorgegebener einfacher Stichprobe X = (X1 , . . . , Xn ) (n ∈ N) zu Y werde für ϑ der Schätzer δ : X → N , X 3 x 7→ max xi i=1,··· ,n betrachtet. (a) Zeigen Sie, daß für die Verteilungsfunktion von δ(X) 0 : y<1 µ [y] ¶n Fδ(X) (y) = :1≤y≤ϑ ϑ 1 : y>ϑ gilt, falls ϑ der tatsächliche Parameter ist. (Dabei steht [y] für die sog. Gauß-Klammer von y, welche als die größte ganze Zahl, die noch kleiner oder gleich y ist, definiert ist.) (b) Hat δ(X) eine Dichte ? (c) Wie groß ist für k ∈ {1, . . . , ϑ} die Wahrscheinlichkeit P {δ(X) = k} ? (d) Ist δ(X) erwartungstreu, asymptotisch erwartungstreu, konsistent im quadratischen Mittel µµ ¶n µ µ ¶ ¶n ¶ ϑ ϑ−1 P P k n k k−1 bzw. konsistent für ϑ ? Hinweise: k − =ϑ− , ϑ ϑ ϑ k=1 k=1 µµ ¶n µ ¶n ¶ µ ¶n ϑ ϑ−1 P P k k−1 k 2 2 k − . =ϑ − (2k + 1) ϑ ϑ ϑ k=1 k=1 (e) Untersuchen Sie δ auf Suffizienz für ϑ ! Aufgabe 51 (a) Berechnen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für den Erwartungswert der PoissonVerteilung. (b) Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit unbekannter Varianz σ 2 und bekanntem Erwartungswert µ. Berechnen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für σ 2 . Aufgabe 52 Gegeben seien die Daten aus Aufgabe 48. (a) Zeigen Sie, daß δ ein suffizienter Schätzer für ϑ ist. (b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für ϑ. (c) Bestimmen Sie den Momenten-Schätzer für ϑ. Zeigen Sie, daß dieser Schätzer für n ≥ 3 mit positiver Wahrscheinlichkeit ’unsinnige’ Ergebnisse liefert, d.h. daß es mit positiver Wahrscheinlichkeit dazu kommt, daß der Schätzer einen Wert für ϑ liefert, bei dem die Stichprobenrealisation unmöglich gewesen wäre. ϑ Hinweis: Untersuchen Sie die Realisationen x = (x1 , . . . , xn ) mit x1 , . . . , xn−1 ∈ [0, 16 ], 2 xn ∈ [(1 − n )ϑ, ϑ]. Aufgabe 53 Eine Urne enthält weiße und rote Kugeln. Der Anteil ϑ der weißen Kugeln ist unbekannt. X sei eine Stichprobe mit Zurücklegen im Umfang n ∈ N. Das Ergebnis der i-ten Ziehung wird mit Xi = 0 für eine rote und mit Xi = 1 für eine weiße Kugel bezeichnet (i = 1, ..., n). (a) Bestimmen Sie die Zufallsvariable Y , die den Umweltausschnitt beschreibt, die Verteilungsannahme, die Stichprobe und den Stichprobenraum. (b) Bestimmen Sie die Likelihood-Funktion (allgemein) sowie für die Stichprobe X = (1, 0, 0, 0, 0) einen ML-Schätzwert für ϑ. (c) Es sei bekannt, daß mindestens 2 rote, mindestens 2 weiße Kugeln und insgesamt 5 Kugeln in der Urne sind. Wiederholen Sie für diesen Fall (a) und (b). Aufgabe 54 Y sei eine über dem Intervall [−ϑ, ϑ] gleichverteilte Zufallsvariable, wobei ϑ > 0 unbekannt sei. X = (X1 , ..., Xn ) sei eine einfache Stichprobe zu Y vom Umfang n > 3. (a) Ermitteln Sie den Momenten-Schätzer für ϑ. (b) Zeigen Sie, daß der Momenten-Schätzer für ϑ mit einer positiven Wahrscheinlichkeit zu einem ’unsinnigen’ Ergebnis führt. (c) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für ϑ. Aufgabe 55 Let X1 , . . . , Xn be independent r.v.’s, each with density µ 2¶ x exp −x :x>0 ϑ 2ϑ f (x | ϑ) = 0 :x≤0 , where ϑ is unknown, ϑ ∈ Θ = {z : z > 0}. [This is called the Rayleigh distribution.] Find the method of moments estimator of ϑ. (vgl. Dudewicz, E.J.: Introduction to Statistics and Probability, New York et al. 1976, p.260)