¨Ubungsblatt 5

Fortgeschrittene Statistik
Prof. Dr. Bernd Wilfling
Dipl.-Mathem. Marc Lammerding
Wintersemester 2012/2013
Übungsblatt 5
1. Es sei X1 , . . . , Xn eine einfache Stichprobe aus einer unbekannten Verteilung mit
P
µ und σ 2 < ∞. Ferner seien a1 , . . . , an ∈ R Zahlen mit ni=1 ai = 1.
(a) Zeigen Sie, dass
Pn
i=1
ai Xi ein unverzerrter Schätzer für den Erwartungswert
µ ist.
(b) Zeigen Sie für den Fall n = 2, dass a1 = a2 = 0.5 die Varianz des Schätzers
minimiert.
2. Der Radius eines Kreises wird mit einer Methode gemessen, die den zufälligen
Fehler X aufweist. Für den Fehler soll gelten X ∼ N (0, σ 2 ). Betrachten Sie eine
einfache Stichprobe von n Messungen für den Radius.
(a) Wie lautet die Verteilung des Radius R in diesem Fall?
Pn
1
2
(b) Zeigen Sie, dass θ̂ = n−1
i=1 (Ri − R̄) ein unverzerrter Schätzer für die
P
Pn
Varianz von R ist. (Hinweis: i=1 (Ri − µ)2 = ni=1 (Ri − R̄ + R̄ − µ)2 = . . .)
(c) Geben Sie einen erwartungstreuen Schätzer für die Fläche des Kreises an.
3. Es sei X1 , . . . , X5 eine einfache Stichprobe aus einer unbekannten Verteilung mit
existierendem Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 . Betrachten Sie die
folgenden Schätzer für den Erwartungswert:
(1) µ̂1 = X1 − X2 + X3 − X4 + X5 .
(2) µ̂2 = 0.3X1 + 0.1X2 + 0.3X3 + 0.1X4 + 0.3X5 .
P
(3) µ̂3 = 0.2 5i=1 Xi .
(4) µ̂4 = X3 .
Überprüfen Sie die Schätzer auf Erwartungstreue. Bilden Sie anschließend eine
Rangfolge der erwartungstreuen Schätzer gemäß ihrer Effizienz.
1
4. Gegeben sei die Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
fX (x) =
1−δ 1−2δ
x δ
δ
für 0 < x < 1
sonst
0
mit δ ∈ (0, 1). Es sei X1 , . . . , Xn eine einfache Stichprobe aus X.
(a) Geben Sie den ML-Schätzer für δ an.
(b) Ist der Schätzer δ̂(X1 , . . . , Xn ) = 1 −
1
n
Pn
i=1
Xi erwartungstreu?
5. Die Zufallsvariable X besitze die Dichtefunktion
(
2 )
1
1 x−µ
fX (x) = √ exp −
,
2
µ
µ 2π
wobei x ∈ R, µ ∈ (0, ∞). Es sei X1 , . . . , Xn eine einfache Stichprobe aus X und
P
X̄ = n1 ni=1 Xi das arithmetische Stichprobenmittel.
(a) Ist θ̂(X1 , . . . , Xn ) =
1
2n
Pn
i=1
Xi2 ein erwartungstreuer Schätzer für µ2 ?
(b) Zeigen Sie, dass der ML-Schätzer für µ gegeben ist durch
v
u
n
u1
1
1X 2
µ̂ = − X̄ + t X̄ 2 +
X .
2
4
n i=1 i
6. Es sei X eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
1
|x|
fX (x) =
exp −
2φ
φ
für x ∈ R mit φ > 0. Es sei X1 , . . . , Xn eine einfache Stichprobe aus X.
(a) Bestimmen Sie den ML-Schätzer für φ.
(b) Bestimmen Sie die Varianz des ML-Schätzers. (Hinweis: Es gilt E(X) = 0
und V ar(|X|) = φ2 .)
(c) Bestimmen Sie die asymptotische Verteilung des ML-Schätzers.
2