Kapitel12 - Abteilung Prof. Schumacher
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Experimentelle Methoden der Teilchenphysik Sommersemester 2011/2012 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Prof. Markus Schumacher Physikalisches Institut, Westbau, 2. OG Raum 008 Telefon 07621 203 7612 E-Mail: [email protected] Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung http://terascale.physik.uni-freiburg.de/lehre/Sommersemester%202012 Grundgesamtheit, Stichprobe, Statistik, Schätzer Betrachte ZV x mit WDF oft abhängig von Parametern θ Grundgesamtheit = Menge möglicher Werte von x beschrieben durch f(x) Stichprobe vom Umfang n = Satz von n unabhängigen Messungen der ZV x Ziel: Ableitung von Eigenschaften von f(x) aus der Stichprobe Statistik: beliebige Funktion der Stichprobenwerte der ZV Schätzer: Statistik um Eigenschaften der WDF zu bestimmen a) Form der WDF unbekannt à Schätzwerte für Erwartungswert, Varianz, … b) Form der WDF bekannt à Schätzwerte für Parameter Schätzer = Funktioneller Zusammenhang, Schätzwert = numerischer Wert beide werden mit “Hut ^” beschrieben M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung SoSe 2012 Gemeinsame WDF der Stichprobe Betrachte n Beobachtungen der ZV x: x1, ..., xn, wobei x der WDF f (x; θ) folgt. Unter den Annahmen: 1) Messungen sind unabhängig 2) WDF/Grundgesamtheit ändert sich zwischen Beobachtung nicht folgt die gemeinsame WDF der Stichprobe: Achtung! Ist nicht immer erfüllt in der Praxis! Gegenbeispiele: - Lotterie (Ziehen von Kugeln ohne zurücklegen) - Längenmessung von Stab bei Temperaturschwankungen M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung SoSe 2012 Die Likelihoodfunktion Das Ergebnis eines Experimentes (Satz von Messungen) sei eine Menge von Zahlen x, und die gemeinsame WDF der Stichprobe ist eine Funktion/Statistik, welche von den Parametern der WDF θ: abhängt: Nun werte diese Funktion mit den Werten der Stichprobe aus und betrachte sie als Funktion der Parameter: Likelihoodfunktion (x konstant) Im Falle von unabhängigen, identischen Messungen gilt: (xi konstant) M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung SoSe 2012 Schätzer für den Erwartungswert µ von f(x) Es gibt keine allgemein gültigen Regeln für die Konstruktion eines Schätzers für einen bestimmten unbekannten Parameter. Ist beispielsweise der Mittelwert µ der Verteilung f (x) gesucht und wurde eine Stichprobe vom Umfang n genommen, so könnten wir unter Mögliche Schätzer für den Erwartungswert µ der WDF der Grundgesamtheit anderem folgende Schätzer µ ! in Betracht ziehen: µ !=x= µ != µ != 1 10 1 n "n i=1 xi "10 i=1 xi "n den Mittelwert der Stichprobe den Mittelwert der ersten 10 Punkte der Stichprobe i=1 xi n/(n − 1) mal den Mittelwert der Stichprobe µ ! = (min(xi ) + max(xi ))/2 Mittelwert des größten und kleinsten Wertes 1 n−1 µ ! = 42 µ ! = Median der Stichprobe Diese Liste ließe sich ohne Weiters verlängern. Welches ist ein “guter” Schätzer? Hier gibt es eine Reihe von Kriterien. Fragen: - welcher Schätzer ist gut, der “Beste”? - welche Kriterien sollte ein guter Schätzer erfüllen? Konsistenz - wie findet man den optimalen Schätzer für ein Problem? n→∞ Ein Schätzer θ!(n) heißt konsistent, wenn θ!(n) −→ θ. Da θ!(n) selbst eine Zufallsvariable M. Schumacher der TP Kapitel 12:Wahrscheinlichkeitsaussage Grundlagen der Parameterschätzung ist, müssenExp. wirMethoden diese Konvergenz durch eine definieren, SoSe und 2012 Eigenschaften von Schätzern Wenn das Experiment ( jeweils aus m Messungen) oft wiederholt wird. Folgen die Schätzwerte einer WDF: bester große Varianz nicht erwartungstreu Wir wollen kleinen (oder Null) Bias (systematischen. Fehler): → Mittelwert der vielen Schätzwerte sollte = wahren Wert sein Und wir wollen kleine Varianz (statistischer Fehler): → kleiner Bias und kleine Varianz sind i.a. gegenläufige Kriterien M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung SoSe 2012 θ ∂θ ehörige Likelihood-Funktion und )ätzers . Sch VSchätzern θ̂ Varianz ≥ ( eines eine Schranke für die minimal erreichbare Scheines ang eineEigenschaften Schranke für die minimal erreichbare Varianz ät 2 von A(θ) ist unabhängig von den xi , d.h. E[A] = A. Ausserdem ist θ̂ in diesem Fa ∂ log L E auf −und d.h. E[ θ̂] = θ. Bilden wir also die Erwartungswerte beiden der letzten #θ) Sei fb(θ) (x; θ) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion θ̂2 Seiten ein beliebige =eine E[ θ] − θ. Sei fso (x; eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und θ̂(5.10 ein ∂θ ergibt sich Aus der Informationstheorie lässt örige sich zeigen, dass es eine untere Parameter θ. L sei die zugeh Likelihood-Funktion und Parameter θ. L sei die zugeh örige Likelihood-Funktion und ! " # 2Parameter Schranke für dieist Varianz eines Schätzers für einen gibt die auch n ! (SMV), Dies die Schranke Minimaler Varianz ∂ log L ätzers θ̂. Dann gilt für die Varianz dieses Sch!ätzers −A = E # 2 ! . # b(θ) = E[b(θ) θ]∂θ−=θ.bezeichnet als Rao-Cramér-Frechet-Ungleichung wird. Ein θE[θ] − θ. '2 & '2 dieses Sc Einsetzen in Gl. 5.24 liefertθ̂. Dann gilt für&die Varianz ∂b sei die Verzerrung des Sch ätzers sei die1Verzerrung des Schätzers θ̂." Dann für die Varianz d ! !gilt # ∂b + 2 ! ! $ % 1 + ∂ log L ∂ log L ! $ & ' % ! 2 (θ̂ ∂θ = −E − θ) '2 & ∂θ ! ! 2 ∂b ∂θ ∂θ ∂b' + . (5.11 ) . $ % Vθ θ̂ 1≥+ *&θ V θ̂ ≥ ( 2 1 log + L 2 $ % ∂θ ∂ log L ∂ 5.25 ergibt (θ̂θ =≥ V an θ̂ der ≥ Stelle E2θ̂ ( ) . ∂θ ) . E Einsetzen − in Gl. V ! ∂ "log L ∂θ #2 2 2 ∂θ 2 ! ∂ log L ∂ log L ∂ log LE − ! 2 = E E∂θ2− ∂θ ∂θ 2 !θ=θ̂ ∂θ 2 nimaler Varianz (SMV), die auch nach einigen ihrer Urhebe Wenn also derMinimaler ML-Schätzer effizient ist, dann ist der Erwartungswert der zwe Dies ist die Schranke Varianz (SMV), die auch nach ein Diestung istbezeichnet dieLikelihood-Funktion Schranke Minimaler Varianz (SMV), dieist auch der gleich demäquivalente Wert an der Stelle des Eine ML-Sch ätzers t-Ungleichung wird. Eine Form als Rao-Cramér-Frechet-Ungleichung bezeichnet wird. äquiv als Rao-Cramér-Frechet-Ungleichung bezeichnet wird. Ei Die Größe '2 & '2 & $% ' &2 ' ∂b & " 2 # 2 ∂b 1 + ∂ log L ∂ log L ∂b + Fisher: I(θ)$≡ %E = Information nach1R.A ∂θE −1 +∂θ2 $ % $ % ∂θ + .∂θ ∂θ V θ̂ ≥ *& ' 2 *& + . (5.12 . V θ̂ ≥ *nennt V θ̂ ∂≥log L '2die & man auch'die2 +Information nach R. A. Fisher. Je gr ößer Informat E ∂ log L ∂ log L der Likelihood-Funktion steckt, der destostatistische kleiner Varianz des Schätze ∂θ E kann die → je größer desto kleiner Fehler. EdieinWirInformation, ∂θ können die Information auch als Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichtefu ∂θ M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung Grundgesamtheit angeben: SoSe 2012 z es einedurch Reihe von Kriterien. die Forderung, dass für jedes ε > 0definiert gilt die Regel wird diese Schranke nicht erreicht und man Effizienz n→∞ iel zwar Mittelwert und Median einer Stichprobe beides konsitente errung (Bias) (n) (n) ! ! Ein Schätzerfür θ gute heißt konsistent, Kriterien Schätzerwenn θ −→ θ. Da als n→∞ (n) (n) (n)= ür den Mittelwert einer normalverteilten Grundgesamtheit. De !(n) θ. ist, m üssen wir diese Konvergenz durch eine Wahrschein ! ! ! lim P (| θ − θ| > ε) 0. r θ 5.3.heißt wenn θ −→ Da θ selbst eine DIE konsistent, LIKELIHOOD-FUNKTION # ! n→∞ n→∞ SM VFür εendliche (n) (n) stenz ist eine Eigenschaft im Grenzwert n → ∞. n ka zwar durch die Forderung, dass f ür jedes > 0 gilt ! ! (n) Konsistenz " edoch derjenige, der auch f ür endlichen Umfang der Stichpr nsistent, wenn θ −→ θ. Da θ selbst eine ! # = Effizienz θ wir diese Konvergenz durch eine WahrscheinlichkeitsaussageZd "(n)Parameters wert des Sch ätzers durchaus vom wahren Wert des abweic V θ (n) Konsistenz sollte eine Minimalforderung f ür einen guten Sch ätzer ! ut, d.h. eine m öglichst kleine Varianz hat. Man kann zeigen, lim P (| θ − θ| > ε) = 0.de (n) die Forderung, dass f ür jedes ε > 0 gilt n→∞ vergenz durch eine Wahrscheinlichkeitsaussage Stichprobe n keine Verzerrung aufweist (b = 0) heißt unverze n→∞ (n) (n) (n) (engl. gegeben durch Ein Schbias) ätzerist θ!eine heißt konsistent, wenn θ!die −→ θ. Daeines θ! selb nngBedingungen untere Schranke f ür Varianz Sc fist, ür nm → ∞ verschwindet, heißteine der Schätzer asymptotisch unv (n) Konsistenz sollte Minimalforderung für einen guten S ! dass f ür jedes ε > 0 gilt üssen wir diese Konvergenz durch eine Wahrscheinlichkeitsa lim P (| θ − θ| > ε) = 0. (n) (n) ! chranke Minimaler Varianz Suffizienz Verzerrung (Bias) b (SM = E[V θ ) ]oder − θ. Cramer-Rao-Schrank n→∞ zwar durch die dass sind für jedes ε> 0 giltEigenschaften e undForderung, Unverzerrtheit unabh ängige zer,Konsistenz dessen Varianz diese minimale Schranke erreicht, heißt (n) Verzerrung ! sollte eine Minimalforderung f(Bias) ür einen guten Sch ätzer sein. möglichst keinen Bias d.h. Schätzer ist erwartungstreu. beiden impliziert die andere. Ein konsistenter Sch ätzer, dessen Ein weitere vorteilhafte Eigenschaft eines Sch ätzers ist Suffizienz, dieendli dan erzerrung h ängt ab von der Art des Sch ätzers, vom Umfang der Stich lim P (| θ − θ| > ε) = 0. Konsistenz ist eine Eigenschaft im Grenzwert n → ∞. F ür (n) ! diese Schranke nicht erreicht und man definiert die Effizienz lim P (| θ − θ| > ε) = 0. "(n) Konsistente Schätzer mit endlicher Varianz sind n→∞ der Schendlichen ätzerdes θ Verteilung (xMittelwert ..., xn )durchaus die inn→∞ derist Stichprobe {x1Wert , ..., asymptotisch xunabh } enthaltene 1 ,ätzers ndes einen hat, jedoch immer er (unbekannten) f (x; θ). Ein Sch ätzer, der ängig voIu tungswert Sch vom wahren Paramete Konsistenz istder eine Eigenschaft im Grenzwert n der → ∞. asymptotisch (nàunendlich) erwartungstreu θ vollständig ausnutzt. Dies ist Idealfall der Datenreduktion: n-diF zerrung (engl. gegeben durch tungswert des Schätzers durchaus vom wahren Wert des P Konsistenz solltebias) eine ist Minimalforderung für einen guten Sch ätzer ng (Bias) tor der Meßwerte der ist#auf eine eindimensionale (oder allge ! guten malforderung fzerrung ürStichprobe einen Sch ätzer sein. SM V (engl."bias) ist gegeben(n) durch (n) ohne (n) dimensionale) GrößeEffizienz θ"(n) reduziert, dass Information ! ! Effizienz θ b = = E[θ #] − θ. über θ verlor (n)θ, wenn (n)fbür " Technisch ausgedrücktim ist Grenzwert ein Schätzer suffizient , ..., xka n| = E[ θ!(n)f](x −1θ. V θ ist Verzerrung eine Eigenschaft n → ∞. F ür endliche n von θVerzerrung abhängt. (Bias) Die hängt ab von der Art des Schätzers, vom Umfang Konsistenz und Unverzerrtheit legen besten Sch ätzer noch ni es Sch ätzers durchaus vomsollte wahren Wert des Parameters abweic Effizienz an “1” Die Verzerrung hnahe ängt abden vonsein. der Art des Sch ätzers, vom von der (unbekannten) Verteilung f (x; θ). EinStichprobe Schätzer, der unabh Beispiel Mittelwert und Median einer beides ko ngl.zum bias) ist gegeben durch von Eigenschaft der (unbekannten) Verteilung fn (x;→ θ). ∞. Ein F Sch d Konsistenz ist eine im Grenzwert ürätzer, endlic Varianz des Schätzers ist unabhängig vonGrundgesam der Robustheit ätzer für einervom normalverteilten z Sch tungswert desden SchMittelwert ätzers durchaus wahren Wert des Paramete (n) (n) ! WDF der Grundgesamtheit bist gegeben = E[ θ auch ] − θ. ist dann jedochbias) derjenige, der fürürendlichen Umfang der zerrung (engl. durch chaft im Grenzwert n → ∞. F endliche n kan Die Eigenschaften eine Schätzers hängen von der Wahrscheinlichkeitsdich M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung SoSe 2012 Ein Schätzer für den Erwartungswert Parameter: (‘Stichprobenmittelwert’) Schätzer: Man kann zeigen: ist konsistent ist erwartungstreu ist effizient für Gauss-WDF (aber nicht für alle WDFs) Der Fehler auf den Schätzer für den Erwartungswert ist gegeben durch M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung SoSe 2012 i=1 i=1 nsistenter Schätzer für E[x], sofern die Varianz der Grundgesamtheit V [x] endlich ist. m Spezialfall einer gaußverteilten Grundgesamtheit ist das arithmetische Mittel auc Arithmetischer Mittelwert für Gauss-WDF Spezialfall einer gaußverteilten Grundgesamtheit ist das arithmetische auchein ein unter Verwendung einer Aussage des zentralen Grenzwertsatzes. Somit Mittel ist x auch ffizienter Sch ätzer. In diesem Fall ist zienter Schätzer. Sch In ätzer diesem konsistenter für Fall E[x],ist sofern die Varianz der Grundgesamtheit V [x] endlich ist. Die log-Likelihood-Funktion lautet: Im Spezialfall einer gaußverteilten Grundgesamtheit ist das arithmetische Mittel auch ein " " ## ## n" " n ist ! 2 effizienter Schätzer. In diesem Fall 2 ! 1 1 (xi − µ) (xi − µ) log √exp −exp − ( (5.34) log Llog=L = log √ 2 2 2 2 2σ 2σ 2πσ 2πσ " ## i=1 ! ni=1 " 2 1 (x − µ) i n $log√ √$% ! exp (5.34) log L = nµ)22 %(x−i − 2 ! √ 2 2σ (x − µ) i = −n − 2π − 2 (5.35) i=1 σ 2π2πσ = log −n log σ ( 2σ n 2 $ √ % i=1! 2 2σ (xi − µ) = −n log σ 2π − ∂ 2 log2L n ⇒ = − ∂ log L n 2 σ ⇒ ∂µ2 ∂ 2 log = − L n ⇒ = − σ2 ∂µ2 ∂µ2 i=1 i=1 2σ 2 (5.35) (5.36) (5.36) σ2 ( SMV ist damit DieSchranke SMV ist damit minimaler Varianz ergibt sich zu: ie Die SMV ist damit σ2 V [x] 2 ' = = = V [x] SMV = & 2 σ V [x] 1 2 n n ' = = [x] SMV = ∂ &log 2L σ n = V V[x] 1log L E − n ∂ '= = = V [x] SMV = E &∂θ −2 2 2 1 E − ∂∂θlog L ∂θ 2 n (5.37) (5.37) n s arithmetische Mittel Mittel erreicht in diesem (wichtigen) Spezialfall SMV. Das arithmetische erreicht in diesem (wichtigen) Spezialfallalso also die die SMV. der Schätzer eine Effizienz von 100% SchD.h. ätzer fürätzer die Varianz V hat [x] der hatten derStichStichAls Sch für die Varianz V [x]Grundgesamtheit der Grundgesamtheit hattenwir wirdie dieVarianz Varianz der as arithmetische Mittel erreicht in diesem (wichtigen) Spezialfall also die SMV. probe definiert: obe definiert: M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung SoSe 2012 ( er Grundgesamtheit lernen will. Im folgenden nehmen wir stets an, dass die Stichproben ufällig sind. Vergleich von 2 Schätzern für den Erwartungswert .2 Gauss-WDF Eigenschaften von Sch ätzern Gleichverteilung s gibt keine allgemein gültigen Regeln für die Konstruktion eines Schätzers für einen mit gleicher estimmten unbekannten Parameter. Ist beispielsweise der Mittelwert µ der Verteilung =1 (x) gesucht und wurde eine Stichprobe vom Umfang n genommen, so könnten wirVarianz unter nderem folgende Schätzer µ ! in Betracht ziehen: µ !=x= µ != µ != 1 10 1 n "n "10 i=1 i=1 xi den Mittelwert der Stichprobe xi den Mittelwert der ersten 10 Punkte der Stichprobe robust "n i=1 xi n/(n − 1) mal den Mittelwert der Stichprobe µ ! = (min(xi ) + max(xi ))/2 Mittelwert des größten und kleinsten Wertes 1 n−1 µ ! = 42 µ ! = Median der Stichprobe effizienter für Gleichverteilung iese Liste ließe sich ohne Weiters verlängern. Welches ist ein “guter” Schätzer? Hier gibt eine Reihe von Kriterien. M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung SoSe 2012 Ein Schätzer für die Varianz Parameter: Schätzer: (‘Stichprobenvarianz’) Man kann zeigen: ist konsistent (mit und ohne Besselkorrektur (n/n-1) ) erwartungstreu (ohne n/n-1 Korrektur nur asymptotisch erwartungstreu) Der Fehler auf den Schätzer für die Varianz ist gegeben durch M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung SoSe 2012 i n i=1die Varianz Ein Schätzer für nz der Varianz der Stichprobe ist $ % n nzoder: der Varianz der Stichprobe ist1 ! 2 % (x − x) V [σS2 ] = V $ i n n −1 1 ! i=1 V [σS2 ] = V $ n(xi − x)2 % n2− 1 ! (x − x)2 V [x] i i=1 = V $ % 2 n (nV−[x] 1)2 V [x] 2 ! (x − x) i=1 i = V 2 (n − 1) V [x] Grundgesamtheit einer Gaußverteilung folgt, i=1 dann folgt der Term in Wenn Grundgesamtheit einer Gauss-WDF folgt, dann folgt der Ausdruck n einer Chiquadratverteilung mit (n − 1) Freiheitsgraden, hat also in der eckigen Klammer Chi-Quadrat-WDF mit n-1 FG,folgt der Term i Grundgesamtheit einereiner Gaußverteilung folgt, dann Damit wir ist. Derenerhalten Varianz 2(n-1) n einer Chiquadratverteilung mit (n − 1) Freiheitsgraden, hat als 2 2V [x] Damit erhalten wir für gaußverteilte Grundgesamtheit. V [σS2 ] = (n − 1)2 2V [x] 2 für gaußverteilte Grundgesamtheit. V [σS ] = (n − 1) M. Schumacher Exp. Methoden der TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung SoSe 2012 zer für die algebraischen Momente kann dσS # σσS = V [σS ] = V [σS2 ] = 1 2σS V [σS2 ]. n Schätzer Kovarianz er für die algebraischenEin Momente kann 1 ' für die ndet werden. k µ & k = d(σS )2 (xi − x) − 1 Als Schätzer1 für die algebraischen Momente kann i=1 k n n ' (5.54) (5.55) = und (x x) (5.55) i − Kovarianzmatrix nverzerrter Schµ&kätzer die zweier Zufallsvariablen x Ein konsistenter erwartungstreuer Schätzer für die Koarianzen ist: n − f1ür n t werden. i=1 µ &k = 1 ' (xi − x)k n−1 (5.55) n werden. Schätzer für die Kovarianzmatrix i=1 ' zerrter zweier Zufallsvariablen x und y ist 1 n ( (x x)(yi − y) = errter Schätzer fV ür die= Kovarianzmatrix zweier x und y ist (xy − x y) xy i − Zufallsvariablen verwendet werden. n ' n−1 1 n−1 n (xy =Ein nunverzerrter i=1 (x − x)(y − y) = (xy − Zufallsvariablen x y) V Sch ätzer f ür die Kovarianzmatrix zweier x und y ist (5.56) i i ' 1 n n − 1 n − 1 ( Vxy = n−1 i=1 (xi − x)(yi − y) = (xy − x y) n ' n − 1 1 (5.56) n i=1 (xy =für den(xKorrelationskoeffizienten erh ält man als Sch ätzer Schätzer für die Korrelationskoeffizienten sind : − x)(y − y) = V i i hält man als Schätzer für den Korrelationskoeffizienten(xy − x y) n−1 i=1 ält man als Schätzer für den Korrelationskoeffizienten n−1 x y xy − x y Damit erhV ältxyman als Schätzer fürxy den−Korrelationskoeffizienten V(xy ) = ρ ( (= ( Vxy σρ +* + ) (== σS,y xy − x*y = S,x ) (5.57) + ρ( = * + 2xy *σ + * xV(2xy− x +2 −yx2y * y − σ σS,x σS,y S,x S,y 2= ) 2 x2 − xρ(2 = σy 2 − x* − x+2* y 2 +− y 2 σy S,x S,y x2 − x2 (5.56) (5.57) (5.57) y2 − y2 Fall, dass x und y einer zweidimensionalen Gaußverteilung folgen, findet man all, dass x und y einer zweidimensionalen Gaußverteilung folgen, findet man Für 2-dimensionale Gauss-WDF gilt: Fall, dass x und y einer zweidimensionalen Gaußverteilung folgen, findet man en Fall, dassFürx den und y einer zweidimensionalen Gaußverteilung folgen, fi ρ(1 − ρ2 ) 2 −2 ) + O(n ) (5.58) E[( ρ] ρ(1 = −ρρ − −2 + O(n 2n ) (5.58) ρ(1 − ρ2 ) 2n + O(n−2 ) E[( ρ] = ρ − 2) 2n 2 2 ρ(1 − −2 1] = 2 21 (1 − −2 ρ V [( ρ ρ ) + O(n ) −2 1 V [( ρ] = (1 − ρ )n+ O(n ) (5.59) −2 O(n ) ρ] =V [(ρ] ρ=− n (1 − ρ2)2 + O(n+ ) n E[( 2n E[( ρ] = ρ − (5.58) (5.59) (5.59) (xy nur asymptotisch unverzerrt, V , σS,x ,(σSch unverzerrte Schätzer sind. S,y ätzer ur asymptotisch unverzerrt, obwohl V(xyobwohl , σS,x , σ1 unverzerrte sind. S,y ρ ( ist also nur asymptotisch unverzerrt, obwohl unverzerrte Schätzer sind. d.h. nur asymptotisch unverzerrt, obwohl erwartungstreu sind. 2 V2xy , σS,x , σS,y −2 V [( ρ ] = (1 − ρ ) + O(n ) as arithmetische Mittel ein unverzerrter, konsistenter Schätzer für Mittelwert s arithmetische Mittel eindas unverzerrter, konsistenter Sch ätzer fürkonsistenter den Mittelwert Obwohl arithmetische Mittel n ein unverzerrter, Schätzer fürden den Mittelwert M. Schumacher Exp. Methoden dermeisten TP Kapitel 12: Grundlagen der Parameterschätzung 2012 dgesamtheit ist und sicherlich meisten verwendet wird, gibt esesFFalle, älle,inSoSe in denen gesamtheit ist und sicherlich am verwendet gibt es verwendet F älle, in denen der Grundgesamtheit istam und sicherlichwird, am meisten wird, gibt denen
