Ubungsblatt 5 - wiwi.uni

Fortgeschrittene Statistik
Prof. Dr. Bernd Wilfling
Dipl.-Volksw. Sarah Meyer
Wintersemester 2014/2015
Übungsblatt 5
1. Es sei X1 , ..., Xn eine einfache Stichprobe aus einer beliebigen Verteilung X mit
unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ 2 . Zeigen Sie, dass
die Schätzer
n
und
1X
Xi
µ̂(X1 , ..., Xn ) = X̄ =
n i=1
n
1 X
σ̂ (X1 , ..., Xn ) = S =
(Xi − X̄)2
n − 1 i=1
2
2
unverzerrte Schätzer der Parameter µ = E(X) und σ 2 = Var(X) sind.
2. Betrachten Sie erneut eine einfache Zufallsstichprobe X1 , ..., Xn . Es sei θ = E(X).
Ferner seien θ̂1 und θ̂2 unverzerrte Schätzer von θ mit
n
1X
Xi ,
θ̂1 (X1 , ..., Xn ) =
n i=1
n
X
1
X1
+
Xi .
θ̂2 (X1 , ..., Xn ) =
2
2(n − 1) i=2
Welcher Schätzer ist relativ effizienter?
3. Es sei X1 , . . . , X5 eine einfache Stichprobe aus einer unbekannten Verteilung mit
existierendem Erwartungswert µ und endlicher Varianz σ 2 . Betrachten Sie die
folgenden Schätzer für den Erwartungswert:
(1) µ̂1 = X1 − X2 + X3 − X4 + X5 .
(2) µ̂2 = 0.3X1 + 0.1X2 + 0.3X3 + 0.1X4 + 0.3X5 .
P5
Xi .
(3) µ̂3 = 0.2 i=1
(4) µ̂4 = X3 .
1
Überprüfen Sie die Schätzer auf Erwartungstreue. Bilden Sie anschließend eine
Rangfolge der erwartungstreuen Schätzer gemäß ihrer Effizienz.
4. Beweisen Sie den zentralen Grenzwertsatz mit Hilfe der momentenerzeugenden
X̄−E(X̄)
X̄−µ
√ . Zeigen
Funktion des standardisierten Stichprobenmittels Zn = √
= σ/
n
Var(X̄)
Sie, dass diese Funktion gegen die momentenerzeugende Funktion der Standardnormalverteilung konvergiert.
5. Gegeben sei die Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
fX (x) =
š
1−δ 1−2δ
x δ
δ
für 0 < x < 1
sonst
0
mit δ ∈ (0, 1). Es sei X1 , . . . , Xn eine einfache Stichprobe aus X.
(a) Geben Sie den ML-Schätzer für δ an.
(b) Ist der Schätzer δ̂(X1 , . . . , Xn ) = 1 −
1
n
Pn
i=1
Xi erwartungstreu?
6. Die Zufallsvariable X besitze die Dichtefunktion
(
’
“2 )
1 x−µ
1
,
fX (x) = √ exp −
2
µ
µ 2π
wobei x ∈ R, µ ∈ (0, ∞). Es sei X1 , . . . , Xn eine einfache Stichprobe aus X und
P
X̄ = n1 ni=1 Xi das arithmetische Stichprobenmittel.
Pn
1
2
2
(a) Ist θ̂(X1 , . . . , Xn ) = 2n
i=1 Xi ein erwartungstreuer Schätzer für µ ?
(b) Zeigen Sie, dass der ML-Schätzer für µ gegeben ist durch
v
u
n
u1
1
1X 2
X .
µ̂ = − X̄ + t X̄ 2 +
2
4
n i=1 i
7. Es sei X eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
š
›
1
|x|
fX (x) =
exp −
2φ
φ
für x ∈ R mit φ > 0. Es sei X1 , . . . , Xn eine einfache Stichprobe aus X.
(a) Bestimmen Sie den ML-Schätzer für φ.
(b) Bestimmen Sie die Varianz des ML-Schätzers. (Hinweis: Es gilt E(X) = 0
und V ar(|X|) = φ2 .)
2