Ubungsblatt 6 - wiwi.uni

Fortgeschrittene Statistik
Prof. Dr. Bernd Wilfling
Dipl. Volks. Sarah Meyer
Wintersemester 2014/2015
Übungsblatt 6
1. Eine Zufallsvariable X heißt lognormalverteilt mit Parametern µ und σ 2 , wenn
die Zufallsvariable Y = ln(X) normalverteilt ist mit den Parametern µ und σ 2 .
Die Dichte der lognormalverteilten Zufallsvariablen X ist gegeben durch

›
š
[ln(x) − µ]2
 √1
1
für x > 0
· x · exp −
.
fX (x) =
2σ 2
σ
2π

0
für x ≤ 0
Es sei X1 , . . . , Xn eine einfache Stichprobe aus X.
(a) Geben Sie die Likelihood-Funktion und die Loglikelihood-Funktion der Stichprobe X1 , . . . , Xn an.
(b) Berechnen Sie die ML-Schätzer für die Parameter µ und σ 2 .
2. Es seien X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Parametern µ und σ 2 , sowie
x1 , . . . , x100 die Realisation einer einfachen Stichprobe vom Umfang 100. Betrachten Sie ferner die Funktion g(µ) = µ. Das arithmetische Mittel der Stichprobe
betrage x̄ = 0.28 und die Varianz sei bekannt mit σ 2 = 2.
(a) Geben Sie den ML-Schätzer für g(µ) und die Varianz dieses Schätzers an.
(b) Führen Sie den Wald-Test für die Nullhypothese H0 : g(µ) = 0 zum Signifikanzniveau α = 5% durch.
3. Es sei X eine Poissonverteilte Zufallsvariable mit Parameter λ > 0 und x1 , . . . , x100
die Realisation einer einfachen Stichprobe. Das arithmetische Mittel der Stichprobe sei bekannt mit x̄ = 1.7. Betrachten Sie die Funktion g(λ) = λ3 − λ2 − 4λ + 4.
(a) Geben Sie den ML-Schätzer für λ an.
(b) Geben Sie den ML-Schätzer für λ an, wenn Sie wissen, dass g(λ) = 0 gilt.
(c) Führen Sie einen LR-Test für die Hypothese g(λ) = 0 zum Signifikanzniveau
α = 5% durch.
1
Wiederholung
1. Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
fX (x) =
(
δeδ(1−x)
0
für 1 < x < ∞,
,
sonst
mit δ > 0
(a) Zeigen Sie, dass fX (x) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X.
(c) Bestimmen Sie den Median von X.
(d) Bestimmen Sie die momentenerzeugende Funktion von X.
(e) Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz von X an.
2. X sei eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit λ > 0. Durch Transformation
von X erhält man Y = g(X) mit g(x) = x2 .
(a) Bestimmen Sie die Dichte und die Verteilungsfunktion von Y .
Es gelte im Folgenden λ = 2.
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (g(X) ≤ 4) exakt.
(c) Bestimmen Sie die Höchstwahrscheinlichkeit für P (g(X) ≤ 4) mit Hilfe der
Tschebyscheff-Ungleichung.
3. Sei X1 , ..., Xn eine Zufallsstichprobe aus X mit Erwartungswert µ und Varianz
σ 2 . Betrachten Sie die folgenden Schätzer für den Erwartungswert µ:
θ̂n = X1 + X2 − Xn ,
n
2 X
iXi ,
θ̂n0 = 2
n i=1
θ̂n00 =
2
(X1 + 2X2 + ... + nXn ).
n(n + 1)
(a) Welche Schätzer sind erwartungstreu?
(b) Ermitteln Sie unter den erwartungstreuen Schätzern den effizientesten.
Hinweis:
n
X
i=1
n
X
n(n + 1)
n(2n + 1)(n + 1)
und
.
i=
i2 =
2
6
i=1
2