WESTF¨ALISCHE WILHELMS - UNIVERSIT¨AT M¨UNSTER Klausur

WESTFÄLISCHE WILHELMS - UNIVERSITÄT MÜNSTER
Wirtschaftswissenschaftliche Faktultät
Prof. Dr. Bernd Wilfling
Professur für VWL, insbesondere Empirische Wirtschaftsforschung
Klausur im Fach Fortgeschrittene Statistik am 18.12.2009
Gesamtpunktzahl: 60
Aufgabe 1: (10 Punkte)
Betrachten Sie die Funktion
(
x+y
fX,Y (x, y) =
0
falls x, y ∈ [0, 1] × [0, 1]
sonst .
(a) Zeigen Sie, dass fX,Y (x, y) eine gemeinsame Dichtefunktion von X und Y ist.
(b) Berechnen Sie die Randdichten fX (x) von X und fY (y) von Y .
(c) Berechnen Sie die bedingten Dichten fX|Y =y (x) von X und fY |X=x (y) von Y .
(d) Was können Sie über die Unabhängigkeit von X und Y sagen?
Aufgabe 2: (20 Punkte)
Betrachten Sie eine Pareto-verteilte Zufallsvariable X mit Parameter θ > 2 und x0 = 1
sowie die Funktion g(θ) = (θ − 1)(θ − 2)(θ − 3)(θ − 4). Es sei x1 , . . . , x100 eine konkrete
P
Stichprobe aus X und 100
i=1 ln(xi ) = 29 der realisierte Stichprobenmittelwert.
(a) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood (ML) Schätzer für θ.
(b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood (ML) Schätzer für θ gegeben g(θ) = 0.
(c) Führen Sie einen Likelihood-Ratio (LR) Test zur Hypothese H0 : g(λ) = 0 gegen
H1 : g(λ) 6= 0 zum Signifikanzniveau α = 0.05 durch.
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Aufgabe 3: (10 Punkte)
Betrachten Sie einen Würfel mit 6 Seiten, welche mit den Zahlen von 1 bis 6 nummeriert sind. Sei X die Zufallsvariable, die den Ausgang eines einzelnen Würfelwurfs
beschreibt. Bestimmen Sie den Erwartungswert µ = E(X) und die Varianz σ 2 = V(X)
von X. Berechnen Sie dann die Wahrscheinlichkeit P(|X − µ| ≥ k · σ), k ∈ {1; 1.5}
und vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen, die sich aus der Chebychev-Ungleichung
ergeben.
Aufgabe 4: (20 Punkte)
Betrachten Sie Dichtefunktion der Pareto-Verteilung
(
f (x) =
θxθ0
xθ+1
falls x ∈ [x0 , ∞]
sonst
0
für x0 > 0 und θ > 2.
(a) Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz einer Pareto-verteilten Zufallsvariable X an (keine Rechnung notwendig).
(b) Berechnen Sie (für ein unbestimmtes x0 > 0) mit Hilfe der Momentenmethode
einen Schätzer für den Parameter der Pareto-Verteilung θ. Benutzen Sie hierzu
P
das erste Moment (Ê(X) = N1 N
i=1 Xi ).
(c) Das r-te Moment der Pareto-Verteilung ist für θ > r gegeben durch
µ0r =
θxr0
.
θ−r
Berechnen Sie mit Hilfe der oben angegebenen Momente unter der Annahme
θ > 2 die Varianz der Pareto-Verteilung.
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